我一直很警惕自己沉迷于某一样东西不能自拔，感觉失去了对于自己的掌控感。

现在其实最容易让人沉迷的就是短视频了，但是我反而不沉迷短视频，一是一开始就保持距离；二是大多短视频都很俗，在声音和画面上都太满了，实在无法忍受。短视频从未成为我沉迷的原因。

长视频反而更让我沉迷。长视频本身就具有迷惑性，它看上去显得更加让人静下心来，也更有用，能获得知识。但是实际上刷的时候开两倍速，无止境地选择下一个推荐的视频——这个逻辑和短视频是一样的。

之前也一直用别的方法限制自己的视频时长。最开始是关闭移动端主页的个性化推荐，随后是删去移动端，只使用桌面端，再之后是桌面端把主页重定向到搜索页。这隐藏了很多数据流，这样以来我几乎只看我关注的博主的视频了——但是还有最后的漏洞：播放器右侧、视频播放临近结束和结束后的推荐与自动连播。

于是乎用vibe coding了AntiRecommend，用于隐藏youtube和bilibili所有的推荐视频，顺便隐藏了一些广告。好用！推荐用！

之前习一直惯使用frp的内网穿透服务，但是因为不想签到，在网上找了一个库SakuraFRP_Auto_AI_check用于实现自动签到

近日樱花frp从九宫格选图片验证码改为了滑块验证码，因此在原基础上添加了兼容滑块验证码的功能。

滑块验证码的破解分为两部分：

• 找到合适的位置
• 模拟人类动作

对于第一点，本来想直接使用视觉模型，但是视觉模型无法精确到像素，也无法模拟人眼实时查看移动的位置是否与预期的位置相符，因此放弃。转而使用库captcha-recognizer，成功✅

对于第二点，本来也想直接vibe-coding一个，但是效果不尽如人意，captcha一直显示“验证码被怪兽吃掉了"（笑，，，转而使用库pyautogui，成功✅

所以还是不要盲信vibe-coding，完善的第三方库+vibe-coding才是正解！

最终的成果：SakuraFRP_Auto_AI_check

¶1 聚类

¶1.1 K-means

¶流程

1. 初始化$\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_k$
2. 把每个数据点分配给最近的$\mu_i$
3. 把$\mu_i$更新为所分配的点的均值
4. 重复2，3直至迭代停止

¶收敛性

1. 每一步目标函数$J=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=1}^Kr_{ik}||x_i-\mu_k||^2$都会减小，且J有下界
2. 但是J非凸（因为$r_{ik}$），往往收敛到局部最小值

¶问题

• 不能软分类
• K值手动指定
• 初始值敏感（对极端值敏感）
• 使用欧几里得距离，高维失效
• 计算开销大

¶1.2 Hierarchical Clustering

1. 每个点作为一个类
2. 距离最近的两个类合并
3. 直至只剩下一个类为止

复杂度高

距离计算的方法：

• 最小值
• 最大值
• 均值

¶1.3 Adaptive Learning

可以随时增加新的数据点

¶Competitve Learning

老师fx比喻为资本主义

类似于分步的K-means

1. 定义若干类
2. 对于每个新点，加入离它最近的类，并更新类的坐标（使用衰减的学习率）
3. 不断重复

但是这样的话，很有可能有一部分类别一直吃不到数据点，导致“饿死”

lr=1/n，n为当前簇样本数的话，就是online k-means

¶Frequency Sensitive Competitive Learning (FSCR)

老师fx比喻为吃大锅饭

惩罚frequent winners，在比较距离的时候，加入惩罚系数$\alpha$

$\varepsilon_t(\theta_j)=\alpha_j||x_t-m_j||^2$

其中$\alpha_j=\dfrac{u_j}{\sum u_i}$

但是如果初始类别太多了，可能会出问题

¶Rival penalized competitive learning (RPCL)

老师fx比喻为吃中国特色社会主义

对于一个新点

• 最近的类将被向新点拉进
• 第二近的类将被向新点拉远

还能顺便解决K数值的解决方式

¶1.4 概率

频率学派vs贝叶斯学派：

前者例如GMM；后者代入GMM的例子，会认为实际上$\theta$也只是符合某一个分布而已

前者MLE（极大似然估计），后者全贝叶斯学习，中间地带MAP（最大后验估计）

贝叶斯学派是有方法组织滑坡的，例如假定最高层的分布是均匀分布，或者限制分布的层数

¶Gaussian Mixture Models (GMM)

类似于K-Means，不过K-Means是硬的，这个是软的

相当于是使用很多高维高斯分布的叠加来表示样本点的分布

$\mathcal N(x|\mu_k,\Sigma_k)=p(x \mid \mu_k, \Sigma_k) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^d |\Sigma_k|}} \exp\Big(-\frac{1}{2}(x-\mu_k)^T \Sigma_k^{-1} (x-\mu_k)\Big)$

如果使用欧氏距离，$\Sigma_k$就取$I$；如果使用马氏距离，$\Sigma_k$就使用协方差矩阵

$L(\theta)=\ln p(\mathbf x|\theta) = \sum\limits_{n=1}^N\ln p(x_n|\theta)=\sum\limits_{n=1}^N\ln \sum\limits_{k=1}^K \pi_k\mathcal N(x_n|\mu_k,\Sigma_k)=\sum\limits_{n=1}^N\ln \sum\limits_{k=1}^K \gamma_{nk}\dfrac{\pi_k\mathcal N(x_n|\mu_k,\Sigma_k)}{\gamma_{nk}}\geq\sum\limits_{n=1}^N\sum\limits_{k=1}^K\gamma_{nk}\ln \dfrac{\pi_k\mathcal N(x_n|\mu_k,\Sigma_k)}{\gamma_{nk}}=Q(\theta),\text{iff }\dfrac{\pi_k\mathcal N(x_n|\mu_k,\Sigma_k)}{\gamma_{nk}}=\text{Const}$

¶EM算法训练GMM

¶Step 0：初始化

• 选择簇数 $K$
• 随机初始化：
  • 均值 $\mu_k$
  • 协方差矩阵 $\Sigma_k$
  • 混合系数 $\pi_k$（先验概率）

¶Step 1：E 步（Expectation）

• 对每个数据点 $x_n$ 计算其属于每个簇的概率（责任度）：
  $\gamma_{nk} = P(z_n = k \mid x_n) = \frac{\pi_k , \mathcal{N}(x_n \mid \mu_k, \Sigma_k)}{\sum_{j=1}^{K} \pi_j , \mathcal{N}(x_n \mid \mu_j, \Sigma_j)}$
• 这里：
  • $z_n$ = 数据点 $x_n$ 的簇标签（隐藏变量）
  • $\gamma_{nk}$ 是软分配（soft assignment）

¶Step 2：M 步（Maximization）

• 根据责任度 $\gamma_{nk}$ 更新参数，使似然最大：

1. 更新均值：
   $\mu_k = \frac{\sum_{n=1}^{N} \gamma_{nk} x_n}{\sum_{n=1}^{N} \gamma_{nk}}$
2. 更新协方差：
   $\Sigma_k = \frac{\sum_{n=1}^{N} \gamma_{nk} (x_n - \mu_k)(x_n - \mu_k)^T}{\sum_{n=1}^{N} \gamma_{nk}}$
3. 更新混合系数：
   $\pi_k = \frac{\sum_{n=1}^{N} \gamma_{nk}}{N}$

¶Step 3：迭代

• 重复 E 步 → M 步，直到：
  • 对数似然收敛，或者
  • 参数变化很小

¶Step 4：簇分配（可选）

• 每个点属于簇 $k^$：
  $k^ = \arg\max_k \gamma_{nk}$
• 或者你可以直接使用概率做软分类。

¶注

在每一步迭代中：

$$
L(\theta_{new}) \ge Q(\theta_{new}, \theta_{old}) \ge Q(\theta_{old}, \theta_{old}) = L(\theta_{old})
$$

• 第一个$\geq$：Q函数是L函数的下限
• 第二个$\geq$：M步
• 第三个$=$：E步，Q函数等于L函数取等条件

EM的算法的目标函数用了KL散度

• 调整z的概率分布，使得q分布和真实后验分布的KL散度为0
• 最小化去掉KL散度之后的另一部分

使用求导更新$\mu$,$\Sigma$

使用拉格朗日乘子法更新$\pi$（有约束和为0求极值）

¶其它

• 只能收敛到局部最优值
• 退化到K-means
  • $\gamma_{nk}$ 只取0或者1
  • $\pi_k$均分，均取$\dfrac1k$
  • $\Sigma = I$

¶1.5 选择合适的K

核心逻辑：

平衡最小化loss和模型复杂度

¶AIC & BIC

$J = L + D$

其中$L$是最大似然，$D$是模型复杂度

AIC中，$D = - d_k$，$J = \ln P(X_N|\hat \Theta_K)-d_k$

BIC中，$D = -\dfrac12d_k\ln N$， $J = \ln P(X_N|\hat \Theta_K)-\dfrac12d_k\ln N$

其中$d_k$为模型中参数数量

¶VBEM

变分贝叶斯EM（VBEM）引入贝叶斯思想 + 变分推断：

• 不再求参数的点估计；
• 而是求一个近似后验分布 $q(Z, \theta) \approx p(Z, \theta \mid X)$。

目标变成最小化KL散度：

$\min_{q(Z,\theta)} D_{KL}(q(Z,\theta) | p(Z,\theta \mid X))$

因为贝叶斯有前验概率，所以说不重要的簇的前验概率会越来越趋于0，因此可以拟合出K的具体数值

¶2 Linear Models: PCA, FA, ICA

¶2.1 Mathmetical Backgrounds

矩阵的内积/Frobenius范数：$\langle A, B \rangle = \mathrm{trace}(A^\top B) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{ij} $

$l_p$范数：$||x||_p=(|x_1|^p+\cdots+|x_n|^p)^{\frac 1p}$

P-quadratic norms：对于正定矩阵P，$||x||_P=(x^\top Px)^\frac12=||P^\frac12x||_2$

¶2.2 主成分分析PCA

¶2.2.1 特征值分解 EVD

预备知识：特征值分解（EVD）：对于方阵$A$，$A=Q\Lambda Q^{-1}$

$Av_i=\lambda_i v_i$

令$Q = \begin{bmatrix}v_1\v_2\\vdots\v_n\end{bmatrix},\Lambda = \begin{bmatrix}\lambda_1\&\lambda_2\&&\ddots\&&&\lambda_n\end{bmatrix}$

$\therefore AQ=\Lambda Q=Q\Lambda$

$\therefore A = Q\Lambda Q^{-1}$

¶2.2.2 奇异值分解 SVD

以此为基础推导奇异值分解（SVD）对于矩阵$A$，$A=U\Sigma V^\top$，也是旋转-缩放-旋转的逻辑

$A^\top Av_i=\lambda_i v_i$

计算模长：$||Av_i||^2=(Av_i)^\top(Av_i)=v_i^\top A^\top Av_i=v_i^\top \lambda_i v_i=\lambda_i v_i^\top v_i=\lambda_i$

$\sigma_i=\sqrt{\lambda_i}$，$u_i=\dfrac{Av_i}{\sigma_i}$

易证$u_i$互相垂直

$\therefore A\begin{bmatrix}v_1&v_2&\cdots&v_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u_1&u_2&\cdots u_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sigma_1\&\sigma_2\&&\ddots\&&&\sigma_n\end{bmatrix}$

$\therefore AV=U\Sigma$

$\therefore A = U\Sigma V^{-1}=U\Sigma V^\top$

¶2.2.3 Hebbian Learning

Hebbian Learning

如果神经元 $i$ 的输入 $x_i$ 和神经元 $j$ 的输出 $y_j$ 经常同时处于高激活状态，那么它们之间的连接权重 $w_{ij}$ 就会增强。

输入为 $\mathbf{x}$，输出为 $y = \mathbf{w}^T\mathbf{x}$，则：

$\Delta \mathbf{w} = \eta y \mathbf{x} = \eta (\mathbf{w}^T\mathbf{x})\mathbf{x}$

但不稳定，权重会无限增大。

使用 Oja's Rule增加了一个归一化项（惩罚项）

$\Delta \mathbf{w} = \eta (y \mathbf{x} - y^2 \mathbf{w})$

实际上是$\mathbf w_\text{temp}=\mathbf w+\eta y \mathbf x$，$\mathbf w_\text{new}=\dfrac{\mathbf w_\text{temp}}{||w_\text{temp}||}\underbrace{\approx}_{泰勒展开} \mathbf w+\eta(y\mathbf x-y^2\mathbf x)$

¶2.3 FA

$𝒙 = Ay + 𝝁 + 𝒆_t$

x: 观测到的数据向量（高维）。

y: 潜在因子向量，$p(y)=G(y∣0,I)$。

A: 因子载荷矩阵 (Factor Loading Matrix)，类似于线性回归中的系数，描述了因子 y 如何影响观测变量 x。

μ: 观测数据的均值向量。

e: 唯一性误差向量（或噪声），$p(e)=G(e∣0,\Psi)$。

e与y独立

FA有旋转不确定性

可以使用EM算法

¶2.4 Model selection for PCA/FA

¶2.4.1 Dimensionality Reduction

使用矩阵$W$把$X$投影到$Y$上，其中$X = U\Lambda U^\top$，$U=(W_{n\times m},V)_{n\times n}$

其保有的信息量$1-\dfrac{\dfrac1N\sum\limits_{t=1}^N||x_t-\hat x_t||}{\dfrac1N\sum\limits_{t=1}^N||x_t||} = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^m \lambda_i}{\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i}$

¶2.4.2 确定合适的特征数

也可以使用AIL/BIL/VBEM

¶2.5 ICA

独立与相关不等价，但是在高斯分布中，两者等价

Natural measure of statistical dependence:

$I(x;y)=\sum\limits_y\sum\limits_x p(x,y)\log\left(\dfrac{p(x,y)}{p(x)p(y)}\right)$

$I(x;y)=\int\limits_y\int\limits_x p(x,y)\log\left(\dfrac{p(x,y)}{p(x)p(y)}\right)\text d x\text d y$

ICA只能分离非高斯的独立成分

ICA的缺陷：无法恢复原有的幅度和顺序

无法恢复幅度：$x=As=\sum\limits_{i=1}^n as_i=\sum\limits_{i=1}^n (a \lambda_i^{-1})\cdot(\lambda_i s_i)$

无法恢复顺序：对于置换矩阵P，$x=As=(AP^{-1})\cdot(Ps)$

¶2.5.1 度量非高斯性

¶峰度：Kurtosis or the fourth order cumulant

$\text{kurt}(y)=E[y^4]-3E[y^2]^2$

<0则subgaussian

>0则super-gaussian

但是对异常值非常敏感

¶负熵——理论上最完美的度量

在方差相同的情况下，高斯变量拥有最大的熵

负熵定义为$J(y)=H(y_\text{gauss})-H(y)$

越大越高斯

计算非常困难

¶互信息

$I(y_1,\cdots,y_n)=\sum\limits_i^n H(y_i)-H(y)=C-\sum\limits_i^n J(y_i)$

实际上是$p(y_1,\cdots,y_n)$和$p(y_1)\cdots p(y_n)$之间的KL散度

¶FastICA

杀死了游戏

¶2.6 Noisy ICA/IFA

也是通过GMM，把分类看作是多个高斯分布的组合

和GMM的区别在于，GMM的隐状态只有一层（属于哪一个高斯分布）

$\gamma_1$,$\gamma_2$ 等等时通过ICA分离获得的独立成分（用向量表示，也就是混合向量）

但是我们有了这个独立成分的向量表示之后，实际上依旧没有把原来的数据分离成不同的组

因此我们使用GMM

对于每一个独立成分，把它变成若干个高斯分布之和

但是Noisy ICA的隐状态有两层（数据属于哪一个GMM，GMM属于哪一个$y_i$，都是软分布）

GMM是$x=y$，没有系数$\Lambda$，没有误差$e$

ICA中$x=\Lambda y+e$，有系数$\Lambda$保证属于不同信号的数据，乘了一个不同的系数,，同时还增加了误差项fghgg

老师有一个很好的板书

1
2
3
4

flowchart LR
data-->|"p(y|x)"|y
y-->|Ay+e|data

• y~Gaussian→PCA/FA, x~G
• y~Non-G→ICA/NFA, x~GMM
• Nonlinear f(y)→VAE, x~Non-G

Tradeoff:

• model
  • powerful
  • flexible
  • complex
• computation
  • easy
  • simple

¶3 监督学习

¶3.1 线性回归

最小化均方误差$\min\limits |x-\hat x|^2$

¶3.2 Logisitic回归

就是sigmoid

$p(x)=P(Y=1|x)=\dfrac{e^{\beta_0+\beta_1X}}{1+e^{\beta_0+\beta_1X}}=\dfrac{1}{1+e^{-(\beta_0+\beta_1X)}}$

改进为多变量：

$p(X)=P(Y=1|X)=\dfrac{e^{\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\cdots\beta_pX_p}}{1+e^{\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\cdots\beta_pX_p}}=\dfrac{1}{1+e^{-(\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\cdots\beta_pX_p)}}$

改进为多分类

$P(Y=k|X)=\dfrac{e^{\beta_{0k}+\beta_{1k}X_1+\beta_{2k}X_2+\cdots\beta_{pk}X_p}}{1+\sum\limits_{i=1}^ne^{\beta_{0i}+\beta_{1i}X_1+\beta_{2i}X_2+\cdots\beta_{pi}X_p}}$

为了防止过拟合，需要加入正则项，即参数的平方，所以$J=\dfrac 1{2m}\left[\sum\limits_{i=1}^m(\hat y-y)^2+\lambda\sum\limits_{j=1}^n\theta_j^2 \right]$\

正则化可以使用各种范数

• LASSO：L1范数，比较严格
• Ridge：L2范数，比较温和（事实上，从贝叶斯的视角，L2正则化就是在相信数据和相信先验常识之间平衡）
• Elastic：两者混合，介于两者中间

¶3.3 神经网络/Neural Network/NN

梯度下降算法

每一层都是线性函数+Activation（非线性）函数（tanh，sigmoid，ReLU等）

也需要正则化

¶3.4 深度神经网络/Deep Neural Networks/DNN

¶3.4.1 CNN

加入了卷积层和池化层

还有一些技巧——正则化、BatchNorm、Dropout

¶3.4.2 ResNet

增加了一些旁路跳过一些块

¶3.4.3 DenseNet

每两个块之间都有旁路连接

ResNet的超级升级

¶3.4.4 RNN/Recurrent NN

上一个输出的token作为下一个输入的token

¶3.4.5 Transformer

ATTENTION IS ALL YOU NEED！

伟大，无需多言

自己去看论文吧

大概就是

Query、Key、Value

¶3.4.6 GNN/Graph NN

按顺序遍历所有节点，先聚合节点的邻居节点，再与节点自己的数据聚合

使用时接一个classifer，梯度回传是按照GNN的规则回传若干轮（轮数决定感受野）

¶3.4.7 GCN

GNN基础上小改进：把聚合自己节点看作有一个自环；聚合的时候要归一化

¶3.4.8 支持向量机/SVM

逻辑是把所有的数据投影到一个超空间上，然后用一个超平面将超空间分成两类，使得所有样本到超平面的最小几何间隔最大化

¶实现

¶第一步：模型定义与几何间隔

假定数据是$D={(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)}$，$x_i\in\mathbb R^d,y_i\in{-1,1}$

线性超平面为$w^\top x+b=0$，其中$w$是法向量，$b$是截距

$x_i$到超平面的集合距离为$\gamma_i$为

$\gamma_i=\dfrac{|w^\top x_i+b|}{||w||}=\dfrac{y_i(w^\top x_i+b)}{||w||}$

¶第二步：目标函数拟定

目标函数是$\max\limits_{w,b}\min\limits_{i}\dfrac{y_i(w^\top x_i+b)}{||w||}$

等比例缩放$w$和$b$不改变超平面，为了计算方便，令距离最近的点满足$y_i(w^\top x_i+b)=1$

此时目标函数是$\max_\limits{w,b}\dfrac1{||w||}$，即$\min\limits_{w,b}\dfrac12||w||^2$，s.t. $1-y_i(w^\top x_i+b)\leq 0$

¶第三步：拉格朗日对偶化

引入拉格朗日乘子$\alpha_i\geq0$

$L(w,b,\alpha)=\dfrac12||w||^2+\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i[1-y_i(w^\top x_i+b)]$

求极小值：

1. $\dfrac{\partial L}{\partial w}=w-\sum\limits_{i=1}^n\alpha_iy_ix_i=0\Rightarrow w = \sum\limits_{i=1}^n\alpha_iy_ix_i$
2. $\dfrac{\partial L}{\partial b}=-\sum\limits_{i=1}^n \alpha_iy_i=0\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^n \alpha_iy_i=0$

代入得到对偶问题：

$\max\limits_\alpha\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i-\dfrac12\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\alpha_i\alpha_jy_iy_j(x_i^\top x_j)$，s.t.$\sum\limits_{i=1}^n \alpha_iy_i=0$，$\alpha_i\geq 0$

¶第四步：KKT 条件与支持向量

通过数值优化算法计算出$\alpha^*$

代入，算$w^*$

对于所有$a_s>0$，应满足$y_s(w^\top x_s+b)=1$，算出$b^*$，理论上算出来都相等的，但是由于浮点误差，一般取均值

¶升级

¶实现软约束

新的约束条件：$y_i(w^\top x_i+b)\geq 1-\xi_i$

新的loss function：$\min\limits_{w,b}\dfrac12||w||^2+C\sum\limits_{i=1}^N\xi_i$

¶核函数

$L(\alpha)=\max\limits_\alpha\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i-\dfrac12\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\alpha_i\alpha_jy_iy_j(x_i^\top x_j)$，这里把$(x_i^\top x_j)$换成$\mathbf K(x_i,x_j)$即可

一般有多项式核、RBF核（高斯核）

核函数的要求：Mercer‘s Condition，即需要是一个合法的内积，也就是要具有非负性、正定性、非负性

¶3.5 Deep Generative Models

¶VAE/变分AutoEncoder

1
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flowchart LR
A["数据"]-->|encoder|B["隐变量"]-->|decoder|C["数据"]

实际上和FA非常像，$X=f(z;\theta)+\epsilon$

f使用了一个复杂的模型（decoder），数学上计算z太复杂，因此使用模型快速计算（encoder）

流程：

1. 群体编码 (Encoder)：将猫、狗、鸟等不同数据输入同一编码器。模型不再赋予每张图孤立的坐标，而是将它们映射为隐空间中各具特征的高斯分布区（由各自的 μ 和 σ 定义）。
2. 随机采样 (Sampling)：在训练时，从这些分布中抽取出隐变量 z。通过重参数化，确保猫的 z 落在“猫区”，鸟的 z 落在“鸟区”。
3. 协同解码 (Decoder)：同一个解码器学习如何根据 z 所在的区域，“翻译”出对应的物种。
4. 双重约束 (Loss)：
   • 重构项：让模型分清物种特征（猫还原成猫，不能变狗）。
   • KL 散度项：像引力一样把猫、狗、鸟的分布全部拉向原点，迫使它们紧凑排列。

最终效果：在同一个隐空间内，猫、狗、鸟形成了既相互独立（方便区分）又彼此邻接（连续可过渡）的聚类结构，使得模型只需在原点附近采样，就能生成各种具备物种特征的新样本。

解释“重参数化”，因为随机采样不能回传梯度，所以改为$z=\mu+\sigma\odot\epsilon$，其中$\epsilon\sim N(0,I)$，是噪声，不参与反向传播

升级：CVAE，把隐变量z和tag一起输入给decoder，方便人为控制输出（输出的种类，输出的方向等等）

¶GAN

核心思想：左右互搏

训练一个生成器和判别器，螺旋进步上升

¶Diffusion

先通过不断加噪将图像彻底“毁灭”为随机像素，再训练模型学习如何一步步逆转这个过程，从纯噪声中“还原”出富有结构的数据。

¶对比

变分下界：最大化概率，用对数似然实现

¶4 因果性

¶4.1 表示方法

¶4.1.1 Structural Causal Model/SCM

Treatment = {0,1}两种可能性

Outcomes: Y~1~,Y~0~

要计算Individual causal effect (ICE) = Y~1~-Y~0~

但是一般性实验组和对照组，都只能计算Y~1~和Y~0~中的一个

解决方法：随机试验、使用倾向性得分来降维、逆概率加权

¶4.1.2 Structural Equation Models/SEM

多元回归分析和因子分析的“合体”

¶4.1.3 Directed Acyclic Graph/DAG

使用有向无环图来表示因果

¶4.1.4 Functional Causal Model/FCM

把p(y|x)变成了p(y|do(x))

¶4.2 发现因果算法

¶4.2.1 PC算法

1. 初始化： 开始时，算法假设所有变量之间都有关联，画出一个全连接的无向图（Skeleton）。
2. 骨架修剪（基于独立性检验）： 算法会逐一检查每一对变量。如果在给定某些变量集合 S 的情况下，发现 X 和 Y 是独立的（即满足 d-separation），那么就删掉 X 和 Y 之间的连线。
   • 它先检查 0 阶独立（无条件独立），再检查 1 阶（给定 1 个变量时独立），以此类推，直到无法再删除边。
3. 确定方向： 剩下的连线是“确定有因果关系”的骨架，算法随后利用逻辑规则（如 v-structure 识别）来确定箭头的指向。

一般输出的是一个等价类图（马尔可夫等价类），而不是DAG，不是所有的都能判断方向

¶4.2.2 LiNGAM

LiNGAM 模型之所以能比传统 SEM 识别出更多的方向，是因为它引入了更强的假设：

1. 线性（Linear）： 变量之间的关系是线性的，即 Xi=∑βijXj+ei。
2. 非高斯（Non-Gaussian）： 干扰项（误差项） e 必须服从非高斯分布（例如均匀分布、拉普拉斯分布等）。这是该模型最关键的创新点。
3. 无环（Acyclic）： 因果结构图中不存在环路（即它是一个 DAG）。

¶4.3 量化因果强弱算法

¶4.2.2 do-calculus

do-演算由三条基础规则组成。在推导过程中，我们会对因果图进行微小的“手术”：

• 规则 1：观察的插入/删除（针对无关信息） 如果在图中，Z 对 Y 的信息流被阻断了，那么在给定 X 的情况下，Z 对于预测 Y 是没用的。
  • 数学表示： P(y∣do(x),z,w)=P(y∣do(x),w)
• 规则 2：行动与观察的交换（针对后门路径） 如果你已经控制（Condition on）了足够的变量 Z，使得 X 到 Y 之间没有混杂因素的影响，那么“强制干预 X”的效果就等同于“观察到 X”。这就是所谓的后门准则。
  • 数学表示： P(y∣do(x),do(z),w)=P(y∣x,do(z),w)
• 规则 3：行动的插入/删除（针对无因果关系） 如果从 X 到 Y 根本没有因果路径，那么强制改变 X 对 Y的分布完全没有影响。
  • 数学表示： P(y∣do(x),w)=P(y∣w)

¶Appendix

¶基础元素导数

¶向量线性形式求导

| 表达式 (导数形式) | 结果 |
| :------------------------------------------------------------: |: ------------------------------------------------------------: |
| $\dfrac{\partial (\mathbf{a}^\top \mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}} = \dfrac{\partial (\mathbf{x}^\top \mathbf{a})}{\partial \mathbf{x}}$ | $\mathbf{a}$ |
| $\dfrac{\partial (\mathbf{x}^\top \mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}}$ | $2\mathbf{x}$ |

¶矩阵双线性形式求导

¶迹函数求导

¶行列矩阵求导

¶其它公式

1. 马氏距离：$D_M(x)=\sqrt{(x-\mu)^TS^{-1}(x-\mu)}$
2. 协方差矩阵：$S=\dfrac1{N-1}\sum\limits_{i=1}^N(x_i-\bar x)(x_i-\bar x)^T$

¶1 Finite Automata and Regular Languages

¶1.1 Deterministic Finite Automata (DFA)

定义：五元组$(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$

1. (Q) is a finite set called the states
2. (\Sigma) is a finite set called the alphabet
3. (\delta: Q \times \Sigma \to Q) is the transition function
4. (q_0 \in Q) is the start state
5. (F \subseteq Q) is the set of accept states

注意其中第三条，(Q)中任意一个元素，都要和$\Sigma$中任意一个元素有这样一个函数

¶1.2 Nondeterministic Finite Automata (NFA)

也是五元组$(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$，第三条不太一样

1. (Q) is a finite set called the states,
2. (\Sigma) is a finite set called the alphabet,
3. (\delta: Q \times \Sigma_\epsilon \to \mathcal{P}(Q)) is the transition function, where (\Sigma_\epsilon = \Sigma \cup {\epsilon}),
4. (q_0 \in Q) is the start state,
5. (F \subseteq Q) is the set of accept states.

¶1.3 DFA & NFA

任意一个NFA都存在和它等价的DFA

使用NFA节点的集合作为DFA的节点即可

$(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)\to(P(Q),\Sigma,\delta',E(q_0),F')$

1. $Q\to P(Q)$取幂集

2. $\delta\to\delta':\delta'(R,a)=\bigcup{E(q)|q\in Q\wedge(\exists r\in R)(q\in \delta(r,a))}$

3. $q_0\to E(q_0)$

   1 2 3 4 5 6

   initially set E(q) = {q}; repeat E′(q) = E(q) ∀x∈E(q),if ∃y∈δ(x,ϵ) ∧y̸∈E(q),E(q) = E(q) ∪{y} until E(q) = E′(q) return E(q)

4. $F'={R\in Q'|R\cap F\ne\varnothing}$

¶1.4 Regular

A language is called regular if some finite automata recognizes it.

具有封闭性的运算：

• Union：$A\cup B={x|x\in A\vee x\in B}$
• Concatenation: $A\circ B={xy|x\in A\wedge y\in B}$
• Kleene Star: $A^*={x_1x_2\cdots x_k|k\geq 0 \wedge x_i\in A}$
• Complement: $\bar A={x|x\notin A}$

注意：

$(01)^\epsilon=(01)^$

$(01)^*\varnothing=\varnothing$

** $\varnothing^\ast={\epsilon}$**

¶1.5 Pumping Lemma

证明不是正则语言：pumping lemma
对每个无限正规语言 $L$，存在一个常数 $p \ge 1$（pumping length），使得
对任意字符串 $s \in L$ 且 $|s| \ge p$，可以写成：$s = xyz$，满足：

1. $|xy| \le p $（前 p 个字符内包含 x 和 y）
2. $|y| \ge 1$ （y 至少非空）
3. 对所有 $i \ge 0$，$xy^i z \in L$

证明是正则语言：构造一个DFA或者NFA

满足pumping lemma是正则语言的必要不充分条件

pumping lemma的证明使用抽屉原理

它只是必要条件，但不充分。满足Pumping Lemma但不是正则语言的反例：

1. $L={a^nb^nc^n}\cup{a^ib^jc^k|i,j,k不全相等}$
2. $L={a^ib^jc^j|i\geq1,j\geq0}\cup{b^ic^j|i,j\geq0}$
3. $L={a^ib^jc^k|i=0\or j=k}$

¶1.6 三个问题

¶Q1: Acceptance: $w\in L(A)$？

可以解决，走一遍就可以了

¶Q2: Emptiness: $L(A)=\varnothing$?

可以解决，看看所有可能的路径能不能走通就行

¶Q3: Equality: $L(A)=L(B)$?

可以解决

$\Leftrightarrow L(A)\oplus L(B)=\varnothing$

¶2 Context Free Languages

¶2.1 Definition

定义：四元组$(V,\Sigma,R,S)$

1. $V$ is a finite set called the variables,
2. $\Sigma$ is a finite set, disjoint from V, called the terminals,
3. $R$ is a finite set of rules, with each rule being a variable and a string of variables and terminals,
4. $S\in V$ is the start variable.

¶2.2模糊性

1. 规定优先级：Leftmost Derivation，先展开左边的

但是依旧不能解决模糊性，之后的称为真正的模糊性

事实上：

1. 不存在去除一个CFG的Ambiguity的算法
2. 不存在一个判断任何CFG是否Ambiguous的算法

¶2.3 Chomsy范式

定义：

1. 只允许$A\to BC$或者$A\to a$，其中$a$是终结符，$B，C$是非起始变量的变量
2. 允许$S\to\epsilon$，其中$S$为起始符

定理：

1. 所有CFG都可以用Chomsy范式解释
2. $\forall G\in\text{CFG},w\in L(G),w\ne\epsilon$ can be derived from the start state in exactly $2|w|-1$ steps

¶2.4 Pushdown Automata (PDA)

CFG对应的机器是 Pushdown automata

定义是六元组$(Q,\Sigma,\Gamma,\delta,q_0,F)$

1. $Q$ is a finite set of states,
2. $\Sigma$ is a finite set of input alphabet,
3. $\Gamma$ is a finite set of stack alphabet,
4. $\delta$: $Q×\Sigma_ϵ ×\Gamma_ϵ →\mathcal P(Q×\Gamma_ϵ)$ is the transition function,
5. $q_0 ∈Q$ is the start state,
6. $F ⊆Q$ is the set of accept states.

其实就是压栈弹栈的过程

需要有一个起始符，先压入栈，表示栈底

¶2.5 CFG等价于PDA

• 已知CFG，构造PDA：画出状态转移图即可

• 已知PDA，构造CFG：

  • 简化PDA

    • 只有一个接受状态
    • 接受状态后栈空
    • 每次转换仅仅压栈一次或者弹栈一次

  • 分类构造CFG

    Give $(Q, Σ, Γ, δ, q_0, q_{accept})$. We construct CFL $G$.
    with variables set ${A_{pq} | p, q ∈ Q}$, start variable $A_{q_0,q_{accept}}$. The rules are as followings:

    1. For each $p, q, r, s ∈ Q$, $u ∈ \Gamma$, and $a, b ∈ \Sigma_ε$, if
       $(r, u) ∈ δ(p, a, ε)$ and $(q, ε) ∈ δ(s, b, u)$, put the rule
       $A_{pq} → a A_{rs} b$ in $G$.
    2. For each $p, q, r ∈ Q$, put the rule $A_{pq} → A_{pr} A_{rq}$ in $G$.
    3. Finally, for each $p ∈ Q$, put the rule $A_{pp} → ε$ in $G$

¶2.6 性质

1. 对Union封闭

   $N_1\cup N_2=(V_1\cup V_2\cup{S},\Sigma_1\cup\Sigma_2,R_1\cup R_2\cup{S\to S_1,S\to S_2},S)$

2. 对Concat封闭

   $N_1 N_2=(V_1\cup V_2\cup{S},\Sigma_1\cup\Sigma_2,R_1\cup R_2\cup{S\to S_1S_2},S)$

3. 对Kleen Star封闭

   $N_1^*=(V_1\cup{S},\Sigma_1,R_1\cup{S\to \epsilon,S\to SS_1},S)$

4. CFL与RL的交集是CFL

5. CFL与CFL的交集不一定是CFL

6. 对补集也不封闭

¶2.7 Pumping Lemma

类似于RL的pumping lemma，用于证明不是CFL

对每个无限 CFL $L$，存在一个常数 $p \ge 1$（称为“pumping length”），使得

对任意长度 $≥ p$ 的字符串 $s \in L$，都可以写成：$s = uvwxy$，并满足：

1. $|vwx| \le p $（“中间区段不长”）
2. $|vx| \ge 1$ （“v 和 x 至少有一个非空”）
3. 对所有$i \ge 0$，$uv^i w x^i y \in L$（重复 $v$ 和 $x$ 字符串$i$ 次，生成的串仍在 $L$ 中）

证明使用抽屉原理

同样具有反例：

$L={a^ib^jc^kd^l|a=0\or j=k=l}$

¶2.8 三个问题

¶Q1: Acceptance: $w\in L(A)$？

可以解决，转换为Chomsky范式，就必然能够在有限步内识别完

¶Q2: Emptiness: $L(A)=\varnothing$?

可以解决，不断扩增所有“可生成变量”

¶Q3: Equality: $L(A)=L(B)$?

不可以解决

¶2.9 DPDA & DCFL

就是确定PDA和确定CFL

类似DCFL和CFL关系类似于DFA和NFA

但是DCFL和CFL是不等价的

DCFL对补集是封闭的

不具有模糊性

能写成LR(k)文法（使用DK-test检测）

¶3 Turing Machine

¶3.1 Definition

7元组,$(Q,\Sigma,\Gamma,\delta,q_0,q_\text{accept},q_\text{reject})$, where $Q,\Sigma,\Gamma$ are all finite and

1. $Q$ is a set of states,
2. $\Sigma$ is the input alphabet not containing the blank symbol $\sqcup$,
3. $\Gamma$ is the tape alphabet, where $\sqcup∈\Gamma$ and $\Sigma \subseteq\Gamma$,
4. $\delta: Q×\Gamma →Q×\Gamma ×{L,R}$is the transition function, (L, R means to move left/right after current step)
5. $q_0 \in Q$ is the start state,
6. $q_\text{accept} \in Q$ is the accept state, and
7. $q_\text{reject}\in Q$ is the reject state, where $q_\text{reject}\ne q_\text{accept}$.

有三种终止状态

1. accept
2. reject
3. Non-halting

¶3.2 Variants of Turing Machine

¶Multitape Turing Machines

$δ: Q×\Gamma^k →Q×\Gamma^k ×{L,R,S}^k$

多带图灵机与单带图灵机等价

¶Non-deterministic Turing Machine

$\delta:Q\times \Gamma\to\mathcal P(Q\times \Gamma\times{L,R})$

与确定图灵机等价

• 确定图灵机相当于宽度优先遍历非确定图灵机的树
• 不能深度优先遍历是因为会有死循环的情况

¶Enumerator

打印出自己所有可接受结果的机器

也与图灵机等价

¶4 Decidability

整理

• Decidable:
  • $A_\text{DFA}={\langle B,w\rangle|B\text{ is a DFA that accepts input string }w}$
  • $A_\text{NFA}={\langle B,w\rangle|B\text{ is an NFA that accepts input string }w}$
  • $A_\text{REX}={\langle R,w\rangle|R\text{ is a regular expression that generates }w}$
  • $E_\text{DFA}={\langle A\rangle|A\text{ is a DFA and }L(A)=\varnothing}$
  • $EQ_\text{DFA}={\langle A,B\rangle|A\text{ and }B\text{ are DFAs and }L(A)=L(B)}$
  • $A_\text{CFG}={\langle G,w\rangle|G \text{ is a CFG that generates }w}$
  • $E_\text{CFG}={\langle G\rangle|G\text{ is a CFG and }L(G)=\varnothing}$
  • $A_\text{LBA}={\langle M,w\rangle|M\text{ is an LBA that accepts }w}$
• Recognizable
  • $A_\text{TM}={\langle M,w\rangle|M\text{ is a TM and }M\text{ accepts } m}$
  • $HALT_\text{TM}={\langle M,w\rangle|M \text{ is a TM and }M\text{ halts on input } w}$
• co-Recognizable
  • $E_\text{TM}={\langle M\rangle|M\text{ is a TM and }L(M)=\varnothing}$
  • $EQ_\text{CFG}={\langle G,H\rangle|G \text{ and } H\text{ are CFGs and }L(G)=L(H)}$
• not Recognizable and co-Recognizable
  • $EQ_\text{TM}={\langle A,B\rangle|A\text{ and }B\text{ are TMs and }L(A)=L(B)}$
  • $REGULAR_\text{TM}={\langle M\rangle|M\text{ is a TM and }L(M)\text{ is a regular language}}$
  • $E_\text{LBA}={\langle M\rangle|M\text{ is an LBA and }L(M)=\varnothing}$
  • $ALL_\text{CFG}$

$\text{Decidabe}=\text{Recognizable}\cap \text{co-Recognizable}$

？→ $\exists$ → $\forall$

连续的 $\exists$ / $\forall$多个视作一个 $\exists$ / $\forall$

$\forall$越多，复杂性越大

$A_\text{TM} = {⟨M,w⟩|M\text{ is a TM and }M\text{ accepts }w}$是undecidable但是recognizable的

${\overline{A_\text{TM}}} = {⟨M,w⟩|M\text{ is a TM and }M\text{ rejects }w}$是unrecognizable的，称为co-turing recognizable

对于1的证明，可以通过构造$D$，$D(\langle M\rangle)=\begin{cases}\text{accept if }M\text{ does not accept }\langle M\rangle,\\text{reject if }M\text{ accepts }\langle M\rangle,\end{cases}$

那么$D\langle D\rangle$就是一个悖论

对于2的证明，讨论一下$L$和$\bar L$在$A_\text{TM}$和$\overline{ A_\text{TM}}$接受的情况即可

¶5 Reducibility

用规约了证明问题

¶Undecidable Problems for Language Theory

¶$HALT_\text{TM}$

$HALT_\text{TM} = {\langle M,w\rangle|M\text{ is a TM and } M\text{halts on input } w}$ is undecidable

将其直接归约为$A_\text{TM}$即可

¶$E_\text{TM}$

$E_{TM}={\langle M\rangle|M\text{ is a TM and }L(M)=\varnothing }$ is undecidable

构造一个$A'\text{TM}$，参数为$A\text{TM}(M,w)$，输入为$x$

在$A_\text{TM}(M,w)$接受时接受，拒绝时拒绝

所以输出与$x$无关，可接受的是全集或者空集

因为$A_\text{TM}$是undecidable的，所以$E_\text{TM}$也是undecidable的

¶$Regular_\text{TM}$

$Regular_\text{TM}={\langle M\rangle|M\text{ is a TM and } L(M)\in RL}$ is undecidable

构造一个$S_{m,w}(x)$

如果$x=0^n1^n$ accept

如果$x\ne 0^n1^n$ return $A_\text{TM}(M,w)$

$\therefore L(S)=\begin{cases}\Sigma^* & \langle M,w\rangle\in A_\text{TM}\{0^n1^n}&\langle M,w\rangle\notin A_\text{TM}\end{cases}$

$\therefore \langle M,w\rangle\in A_\text{TM}\Leftrightarrow S\in Regular_\text{TM}$

所以是undecidable的

¶$EQ_\text{TM}$

$EQ_\text{TM} = {\langle M_1,M_2\rangle|M_1\text{ and }M_2\text{ are TMs and } L(M_1)=L(M_2)}$

取特例，令$M_2$为空，归约到$E_\text{TM}$即可

¶Reductions via computation histories

定义计算历史$C_1,\cdots, C_l$根据最后一个状态是accept还是reject定义它是接受/拒绝的计算历史

Linear Bounded Automata: 一个图灵机，但是指针只能在输入的范围上移动

$A_\text{LBA}$ is decidable

虽然LBA本身有无限的状态，但是给定输入之后，LBA的状态就是有限的，所以它是decidable的

¶$E_\text{LBA}$

$E_{LBA}$ is undecidable，也通过$A_\text{TM}$来归约

构造$B_{m,w}$，s.t. $\langle M,w\rangle\in A_\text{TM}\Leftrightarrow L(B_{m,w})\ne \varnothing$

定义$B_{m,w}(x) = B_\text{accept} \iff x \text{ is an accepting hostory of }M\text{ on }w$

直观来看，就是因为LBA无法在有限的空间里模拟$A_\text{TM}$，所以直接把$A_\text{TM}$的计算过程展开作为$B_\text{TM}$的输入，这样就可以放得下了

¶$ALL_\text{CFG}$

$ALL_\text{CFG} = {\langle G\rangle|G \text{ is an CFG and }L(G)=\Sigma^*}$ is undecidable

$ALL_\text{CFG}\text{ is undecidable}\iff \overline{ALL_\text{CFG}} \text{ is undecidable}$

下证$A_\text{TM}\leq \overline{ALL_\text{CFG}}$

接受计算历史 H 的格式： H=#C1#C2#…#Cℓ#。

G 需要生成所有不符合 H 特征的字符串。这些字符串不符合 H 的原因分为三类：

1. 无效开始 C1： 字符串不以 M 在 w 上的起始配置 C1 开头。
2. 无效结束 Cℓ： 字符串不以 M 的接受配置结束。
3. 非法转移 Ci\⊢Ci+1： 字符串中至少有一对**相邻配置 Ci#Ci+1 不满足 M 的转移规则。

G 识别的语言 L(G) 是识别这三类错误的语言的并集。前两类容易用 CFG 实现，第三类是关键。

通过构造一个合适的PDA来实现这一点，但是堆栈会有问题

让奇数位C~i~保持正序编码，偶数位保持逆序编码

¶Mapping Reducibility

函数的定义：$\Sigma^\to\Sigma^$，对于图灵机$M$，对于每一个输入$w$，终止时tape上的是$f(w)$

定义mapping reducibility $A\leq_m B$: $\exists$ a computable function $f,\forall w\in\Sigma^*,w\in A\iff f(w)\in B$

$A\leq_m B\iff\bar A\leq_m\bar B$:

1. $B$ decidable $\to$ $A$ decidable
2. $A$ undecidable $\to$ $B$ undecidable
3. $B$ turing-recognizable $\to$ $A$ turing-recognizable
4. $A$ not turing-recognizable $\to$ $B$ not turing-recognizable

强大武器：Rice Theroem

任何关于图灵机所识别语言的非平凡性质，都是不可判定的。

两个核心前提：

• 是关于语言的性质（Property of Language）： 该性质只取决于图灵机接受哪些字符串，即如果 L(M1)=L(M2)，那么它们必须同时具备或不具备该性质。
• 它是非平凡的（Non-trivial）： 这个性质既不是“永远成立”的，也不是“永远不成立”的。

证明思路：

• 定义

  • 我现在有一个性质语言的性质$p$，满足$P_\text{TM}(x)={x|x是一个满足p的语言}$，设$Q\in P_\text{TM}$，$\varnothing\notin P_\text{TM}$（如果属于则证明其补语言是undecidable的），$Q$对应的图灵机是$M_q$
  • 如果$P_\text{TM}$是decidable的，设它的判断器为$R$

• 现在开始把$P_\text{TM}$规约到$A_\text{TM}$：

  • 要测试$A(M,w)$的 时候，构造辅助TM $M_w$ ，$M_w(x)$定义为:

    运行$M(w)$，

    1. 如果接受，则运行$M_q(x)$，$M_q$接受则$M_w$接受，$M_q$不接受则$M_w$不接受
    2. 如果不接受或者循环，则$M_w$不接受

• 这样以来可以通过$R$构造$A_\text{TM}$的判别器$S$

  • 如果$R(M_w)$接受，则$M_w$接受
  • 如果$R(M_w)$不接受，则$M_w$不接受

¶6 Godel Encoding

构造一个程序到自然数的单射

¶7 Time Complexity

图灵机$o(n\log n)$ 内能识别的，是正则语言

多带图灵机$O(t(n))$能做的，单带图灵机$O(t(n^2))$也能做的

非确定图灵机$O(t(n))$能做的，确定图灵机$2^{O(t(n))}$也能做的

¶P 问题

P问题是在确定单带图灵机上，多项式时间内可以decidable的问题

文本的编码：必须与文本长度的对数成正比（因此拒绝1进制）

• $PATH = {\langle G,s,t\rangle|G\text{ is a directed graph that has a directed path from }s\text{ and }t}$
• $RELPRIME={\langle x,y\rangle|x\text{ and }y\text{ are relatively prime}}$
• CFL

¶NP 问题

NP问题是多项式时间可接受的

NP问题是在不确定单带图灵机上，多项式时间内可以decidable的问题/在确定单带图灵机上，多项式时间内可以verify的问题

• $HAMPATH={\langle G,s,t\rangle|G\text{ is a directed graph with a hamilton path from }s\text{ to }t}$

¶NPC问题

• SAT
• 3SAT
• CLIQUE
• Vertex Cover

¶归约

A归约到B = A≤B = A难度小于等于B

1
2
3
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5
6
7
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13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

graph TD
    %% 1. 结构定义
    SAT[SAT] --> 3SAT[3SAT]
    3SAT-->SUBSET-SUM[SUBSET-SUM]
  
    %% 左侧分支：子图/覆盖类
    3SAT --> CLIQUE[CLIQUE]
    3SAT --> VC[Vertex Cover]
    CLIQUE <--> VC

    %% 右侧分支：路径类
    3SAT --> DHAMP[Directed HAMPATH]
    DHAMP --> HAMP[Undirected HAMPATH]
    HAMP --> TSP[TSP]

    %% 2. 样式定义
    classDef logic fill:#e3f2fd,stroke:#1565c0,stroke-width:2px;
    classDef graphNode fill:#e8f5e9,stroke:#2e7d32,stroke-width:2px;
    classDef pathNode fill:#fff3e0,stroke:#ef6c00,stroke-width:2px;

    %% 3. 应用样式
    class SAT,3SAT logic;
    class CLIQUE,VC graphNode;
    class DHAMP,HAMP,TSP pathNode;

¶8 Space Complexity

定义：

Space(N)：在DTM上的空间复杂度

NSpace(N): 在NTM上的空间复杂度

考虑的都是decider而不是verifyer

在空间复杂度上，PSPACE=NPSPACE

事实上NPSPACE(f(n))$\subseteq$SPACE(f^2^(n))

P $\subseteq$ PSPACE

NP $\subseteq$ NPSPACE $=$ PSPACE $\subseteq$ EXPTIME

NPSPACE=co-NPSPACE

PSPACE上的归约依旧是多项式时间内的归约

PSPACE-complete: TQBF

LSPACE：输入带（只读）是线性的，但是工作带（读写）是$O(\log n)$

NL$\subseteq$P，L=co-NL，但是不清楚L与NL是否相等（倾向于不等）

PATH$\in$NLC

NL-Complete的reducible，是log-space reducibility，而不是polynomial time reducible

规约的过程中，A的输出，B的输入，可能是多项式空间的——解决方法，每次只读取一个字符，要读下一个字符就重新算一遍

¶9 Intractability

¶Hierarchy Theorems

¶Space constructible

判断一个算法是否是$O(f(n))$的，计算算法复杂度的算法的复杂度本身，也必须是$O(f(n))$的

如果$f(n)$是$o(n)$的，就使用工作带只读带的逻辑（类似LSPACE）

¶Space hierarchy theorem

对于任何空间可构造函数 $f(n)$，一定存在一个语言（即一个问题）A，它：

• 可以用 $O(f(n))$ 的空间解决。
• 不可能用 $o(f(n))$ 的空间解决（即增长速度严格慢于 $f(n)$ 的空间都不行）。

同理，也有时间层次定理

¶Relativization

假设有神谕oracle，能够在$O(1)$下解决某一类问题时，各类不同问题的复杂性

¶Circuit

电路复杂性

时间复杂度$O(t(n))$，电路复杂性$O(t^2(n))$

¶附录

¶0 导论

¶0.1 马克思主义中国化时代化的提出

1938 毛泽东 六中全会 《论新阶段》的报告 标志**『“马克思主义的中国化”』**提出

1945 刘少奇 七大 《关于修改党章的报告》 进一步阐述理论，指出**『毛泽东思想』是『“中国化的马克思主义”』**

¶0.2 马克思主义中国化时代化的内涵

定义为：

• 立足
  • 中国国情
  • 时代特点
• 坚持**『马克思主义基本原理』**
  • 同**『中国具体实际』**相结合
  • 同**『中华优秀传统文化』**相结合

¶0.3 马克思主义中国化时代化的历史进程

**新民主主义时期，****『毛泽东思想』**是第一次历史性飞跃

『改革开放』和『社会主义现代化建设』新时期，形成『中国特色社会主义理论体系』，实现了新的飞跃

十八大以来，创立了**『习近平新时代中国特色社会主义思想』**，实现了新的飞跃

（都是**『马克思主义中国化时代化』**的飞跃）

¶0.4 马克思主义中国化时代化理论成果及其关系

马克思主义中国化时代化理论成果是：一脉相承、与时俱进的关系

• 『毛泽东思想』：蕴含的**『马克思主义』的立场、观点、方法，为『中国特色社会主义理论体系』**提供了基本遵循
• 『中国特色社会主义理论体系』在新的历史条件下进一步丰富和发展了『毛泽东思想』

¶1 **『毛泽东思想』**及其历史地位

¶1.1 **『毛泽东思想』**形成和发展/1.1.2 **『毛泽东思想』**形成发展的过程

• **『毛泽东思想』**的形成
  • 大革命时期 毛泽东 《中国社会各阶级的分析》《湖南农民运动考察报告》等
    • 这些关于**『新民主主义革命基本思想』的提出，标志着『毛泽东思想』**开始萌芽
  • 《红色政权为什么能够存在？》《井冈山的斗争》《星星之火，可以燎原》《反对本本主义》
    • **提出并阐释：**农村包围城市、武装夺取政权 的思想
    • 对红军和农村革命根据地的建立、巩固、发展 发挥根本性的指导作用
    • 标志着**『毛泽东思想』**的初步形成
• **『毛泽东思想』**的成熟
  • 《实践论》《矛盾论》：分析*”左“、右错误思想的根源*
  • 《〈共产党人〉发刊词》《中国革命和中国共产党》《新民主主义论》《改造我们的学习》《论联合政府》
    • **阐释革命对象、动力、领导力量、性质、前途，**提出总路线
    • 标志着**『毛泽东思想』**多方面展开→趋于成熟
• **『毛泽东思想』**的继续发展
  • **明确提出把 **『马克思列宁主义基本原理』 同 **『中国具体实际 』**进行 “第二次结合，找出在中国怎样建设社会主义的道路”的任务
  • 开辟适合**『中国国情的社会主义建设道路』**进行了艰辛探索

¶1.2 **『毛泽东思想』**的主要内容和活的灵魂/1.2.2 **『毛泽东思想』**活的灵魂

实事求是、群众路线、独立自主

¶实事求是

• **『毛泽东思想』**的基本点和精髓
• 要：
  1. 深入了解事物的本来面貌，把握事物内在必然联系，按照客观规律办事
  2. 清醒认识和正确把握我国基本国情
  3. 不断推进实践基础上的最优解

¶群众路线

• **是：**一切为了群众，一切依靠群众，从群众中来，到群众中去，把党的正确主张变为群众的自觉行动
• 要：
  1. 坚持**『人民是推动历史发展』**的根本力量
  2. 坚持**『全心全意为人民服务』**的根本宗旨
  3. 保持**『党同人民群众的血肉联系』**

¶独立自主

• 是：
  • 坚持独立思考，走自己的路
  • 坚定不移地维护民族独立、捍卫国家主权，把立足点放在依靠自己力量的基础上，同时积极争取外援，开展国际经济文化交流，学习外国一切对我们有益的先进事物

坚持**『独立自主原则』**，是毛泽东针对党内存在的“左”倾教条主义倾向，从中国革命遭受挫折的教训中提出的正确思想主张

• 要：
  • 坚持中国的事情必须由中国人民自己作主张、自己来处理
  • 坚持独立自主的和平外交政策，坚定不移地走和平发展道路

¶1.3 **『毛泽东思想』**的历史地位

• 马克思主义中国化时代化的第一个重大理论成果
• 中国革命和建设的科学指南
• 中国共产党和中国人民宝贵的精神财富

¶2 新民主主义革命理论

¶2.1 新民主主义革命理论形成的依据

¶2.1.1 近代中国国情和中国革命的时代特征

• 近代中国最基本的国情：逐步成为**『半殖民半封建社会』**
• 占支配地位的主要社会矛盾
  • 帝国主义和中华民族的矛盾
  • 封建主义和人民大众的矛盾（最主要）

¶2.1.2 近代中国革命的时代特征

近代中国的性质和主要矛盾→决定了中国革命仍然是**『资产阶级民主革命』**

¶2.2 新民主主义革命的总路线和基本纲领

¶2.2.1 新民主主义革命的总路线

1939 毛泽东 《中国革命和中国共产党》 提出**『“新民主主义的革命”』**的科学概念

1948 毛泽东 《在晋绥干部会议上的讲话》 完整总结概括**『新民主主义革命总路线』**的内容：

• 无产阶级领导的
• 人民大众的
• 反对帝国主义、封建主义和官僚资本主义

的革命

新民主主义革命

• 对象

  • 帝国主义
  • 封建主义
  • 官僚资本主义

• 动力（工农小民）

  • 无产阶级
  • 农民阶级
  • 城市小资产阶级
  • 民族资产阶级

• 领导力量（中国革命的中心问题、新民主主义革命理论的核心问题）

  • 区分新旧两种不同范畴的**『民主主义革命』的根本标志：革命领导权掌握在『无产阶级』还是『资产阶级』**手中
  • 中国无产阶级
    • 一般无产阶级的基本优点
      • 与先进生产方式相联系
      • 没有私人占有的生产资料
      • 富于组织纪律性
    • 自身的特点和优点
      • 革命性：从诞生之日起，就身受外国资本主义、本国封建主义势力和资产阶级的三重压迫，这些压迫的严酷性和残酷性，是世界各民族中少见的
      • 集中性：集中分布在少数大城市和大企业，有利于组织和团结，有利于革命思想的传播和强大革命力量的形成
      • 同盟性：成员中大部分出身于破产农民，和农民有着天然的联系，便于和农民结成亲密的联盟，共同团结战斗

  ¶2.2.2 新民主主义的基本纲领

1945 七大 《论联合政府》 形成新民主主义基本纲领

• 政治纲领
  • 推翻**『帝国主义』和『封建主义』**的统治
  • 建立一个**『无产阶级』领导的、以『工农联盟』为基础的、『各革命阶级联合专政』**的新民主主义共和国
• 经济纲领
  • 没收**『封建地主阶级』**的土地归农民所有
  • 没收**『官僚资产阶级』的垄断资本归『新民主主义』**的国家所有
  • 保护**『民族工商业』**
• 文化纲领
  • **『无产阶级』领导的人民大众的『反帝反封建』**的文化
  • 即：民族的、科学的、大众的文化

¶2.3 新民主主义革命的道路和基本经验

¶2.3.1 新民主主义革命的道路

**1938.11 六届六中全会 确立 “经过了长期武装斗争，**先占乡村，后取城市，最后夺取全国胜利”的革命道路

**新民主主义革命的三大法宝：**统一战线、武装斗争、党的建设（毛泽东 《〈共产党人〉发刊词》）

• **统一战线：****『无产阶级政党策略思想』**的重要内容
• 武装斗争：中国革命的特点和优点之一
• 党的建设：不断加强：
  • 思想建设（首位）
  • 组织建设
  • 作风建设

¶3 社会主义改造理论

¶3.1 从新民主主义到社会主义的转变

• 新民主主义（1949-1956）

  • 五种经济成分

    • **『社会主义性质』**的国营经济（主要）
    • **『半社会主义性质』**的合作社经济（向『社会主义集体经济』过渡的形式）
    • 农民和手工业者的个体经济（主要）
    • **『私人资本主义』**经济（主要）
    • 『国家资本主义经济』（**『私人资本主义经济』向『社会主义国营经济』**过渡的形式）

  • 三种基本力量之间的矛盾（农民和手工业者不代表一种发展方向）

    • **『社会主义』和『资本主义』**两条道路
    • **『工人阶级』和『资产阶级』**两个阶级（随着土地改革完成，成为主要矛盾）（1952-1956）

    的矛盾

1953.6&12 毛泽东 建国到**『社会主义改造』**基本完成，存在过渡时期。总任务是一化三改造

• 国家的**『社会主义工业化』**
• 国家对**『农业、手工业、资本主义工商业』的『社会主义改造』**

过渡时期总路线的现实依据

• 1949-1952的努力，已有相对强大和迅速发展的**『社会主义国营经济』**
• 土改完成后，为发展生产、抵御自然灾害，广大农民具有走互助合作道路的要求
• 国际形势有利于中国向**『社会主义』**过渡

¶3.2 社会主义改造道路和历史经验

『农业、手工业』的『社会主义改造道路』

1. 积极引导农民组织起来，走互助合作道路
2. 遵循自愿互利、典型示范和国家帮助的原则，以互助合作的优越性吸引农民走互助合作道路
3. 正确分析农村的阶级和阶层情况，制定正确的阶级政策
4. 坚持积极领导、稳步前进的方针，采取循序渐进的步骤

『资本主义工商业』的『社会主义改造』

• 用和平赎买的方法改造**『资本主义工商业』**
• 采取从低级到高级的**『国家资本主义』**的过渡形式

  • **例如初级形式中，**四马分肥：企业利润按照

    • 国家所得税
    • 企业公积金
    • 工人福利费
    • 资方红利

    分配

• 把**『资本主义工商业者』改造成『自食其力的社会主义劳动者』**

**『社会主义改造』**的历史经验

1. 坚持**『社会主义工业化建设』和『社会主义改造』**同时并举
2. 采取积极引导、逐步过渡的方式
3. 用和平方法进行改造

¶3.3 社会主义基本制度在中国的确立

1956年，我国对**『农业、手工业和资本主义工商业』**的社会主义改造基本完成

『资本主义私有制』基本上转变为『国家所有即全民所有的公有制』

标志着中国历史上长达数千年的**『阶级剥削制度』的结束和『社会主义基本制度』**的确立

确立**『社会主义基本制度』**的意义：

• 是中国历史上最深刻最伟大的社会变革
• 为当代中国一切发展进步奠定了制度基础
• 为**『中国特色社会主义制度』**的创新和发展提供了重要前提

¶4 社会主义建设道路初步探索的理论成果

¶4.1 初步探索的重要理论成果

¶4.1.1 调动一切积极因素为社会主义事业服务

需要把**『马克思列宁主义基本原理』同中国具体实际进行“第二次结合”，努力找到『适合中国特点的社会主义建设道路』**

《论十大关系》良好开端，确定基本方针：努力把党内党外、国内国外的一切积极的因素，直接的、间接的积极因素，全部调动起来，为社会主义建设服务

• 必须坚持**『中国共产党』**的领导
• 必须发展**『社会主义民主政治』**

¶正确认识和处理社会矛盾的思想

两类社会矛盾

• **敌我矛盾——**专政方法处理
• **人民内部矛盾——**民主方法处理
  • 政治思想领域：团结-批评-团结方针
  • 物质利益、分配：统筹兼顾国家、集体、个人三方利益
  • 人民与政府机关：坚持**『民主集中制』**，加强对群众的思想教育

¶走中国工业化道路的思想

建立合理规章制度和严格的责任制，实行**『民主管理』**

• 两参一改三结合
  • 干部参加劳动
  • 工人参加管理
  • 改革不合理的规章制度
  • 工人群众、领导干部、技术人员三结合

¶其它理论成果

**毛泽东 社会发展阶段的思想：两个阶段：**不发达的社会主义、发达的社会主义

周恩来 建设*“四个现代化”：“把我国建设为一个具有现代农业、现代工业、现代国防和现代科学技术*的社会主义强国”

¶4.2 初步探索的意义和经验教训

意义

• 巩固和发展了我国的**『社会主义制度』**
• 为开创**『中国特色社会主义』**提供了宝贵经验、理论准备、物质基础
• 丰富了**『科学社会主义』**的理论和实践

经验教训

• 必须把**『马克思主义』与『中国实际』**相结合
• 必须正确认识**『社会主义社会』的『主要矛盾』和『基本任务』**
• 必须从实际出发进行**『社会主义建设』**，建设规模和速度要与国力相适应，不能急于求成
• 必须发展**『社会主义民主』，健全『社会主义法制』**
• 必须坚持党的**『民主集中制』和『集体领导制度』**，加强政党建设
• 必须坚持对外开放，借鉴和吸收**『人类文明成果』建设『社会主义』**，不能关起门来搞建设

¶5 中国特色社会主义理论体系的形成发展

emmmmmm没有划重点

¶6 邓小平理论

¶6.1 邓小平理论首要的基本的理论问题和精髓

首要的基本的理论问题：在中国这样一个经济文化比较落后的国家

• 建设什么样的**『社会主义』**
• 怎样建设**『社会主义』**

**1992 邓小平 南方讲话指出：“****『社会主义』**的本质，是

• 解放生产力
• 发展生产力
• 消灭剥削
• 消除两极分化

最终达到共同富裕”

其意义：

• 突出地强调**『解放和发展生产力』在『社会主义社会』发展中的重要地位，纠正了过去关于发展生产力的一些错误观念，反映了『中国社会主义』整个历史阶段尤其是初级阶段，特别需要注重生产力发展的迫切要求，并明确了『社会主义基本制度』**建立后还要通过改革进一步解放生产力
• **突出强调“消灭剥削，消除两极分化，最终达到共同富裕”，从生产关系和发展目标角度认识和把握社会主义本质

邓小平理论精髓：

• 解放思想
• 实事求是

¶6.2 邓小平理论的主要内容

¶6.2.1 社会主义初级阶段理论和党的基本路线

十三大 社会主义初级阶段的科学内涵

• 阐明了“****『社会主义初级阶段』”两层含义：
  • 我国已经是**『社会主义』，我们必须坚持而不能离开『社会主义』**
  • 我国的**『社会主义社会』**还处在初级阶段
• 强调了**『社会主义初级阶段』**的长期性
• 阐述了**『社会主义初级阶段』**的基本特征

基本路线：领导和团结全国各族人民，以经济建设为中心，坚持****四项基本原则，坚持改革开放，自力更生，艰苦创业，为把我国建设成为富强、民生、文明的**『社会主义现代化国家』**而奋斗

四项基本原则：

• 在思想上坚持**『社会主义』**道路
• 坚持**『无产阶级专政』（后表述为『人民民主专政』**）
• 坚持**『共产党的领导』**
• 坚持**『马列主义』、『毛泽东思想』**

¶6.2.2 社会主义根本任务和发展战略理论

社会主义根本任务：发展生产力

**党和国家的工作重点：**经济建设

三步走发展战略：

1. 到1990年，实现国民生产总值比1980年翻一番，解决人民的温饱问题
2. 到20世纪末，使国民生产总值再增长一倍，人民生活达到小康水平
3. 到21世纪中叶，人均国民生产总值达到中等发达国家水平，人民生活比较富裕，基本实现现代化。然后在这个基础上继续前进

¶6.2.3 社会主义改革开放和社会主义市场经济理论

**『社会主义改革开放』**理论

• 改革是
  • 一场深刻的社会变革
  • 中国的第二次革命
  • 实现中国现代化的必由之路
• 判断改革和各方面得失，要看“三个有利于”
  • 是否有利于发展**『社会主义社会』**的生产力
  • 是否有利于增强**『社会主义国家』**的综合国力
  • 是否有利于提高人民生活水平

**『社会主义市场经济理论』**内涵：

1. 『计划经济』和『市场经济』不是划分社会制度的标志，『计划经济』不等于『社会主义』，『市场经济』也不等于『资本主义』
2. 计划和市场都是经济手段，对经济活动的调节各有优劣，社会主义实行**『市场经济』**是要把两者优势结合起来
3. **『市场经济』**作为资源配置手段本身不具有制度属性，可以和不同的社会制度结合，从而表现出不同的性质

¶6.2.6 中国特色社会主义外交和国际战略

1987 党的十三大确认了 和平与发展是当今世界的两大主题

¶6.3 邓小平理论的历史地位

• 『马克思列宁主义』、**『毛泽东思想』**的继承与发展
• **『中国特色社会主义理论体系』**的开篇之作
• **『改革开放』和『社会主义现代化建设』**的科学指南

¶7 “三个代表”重要思想

¶7.1 “三个代表”重要思想的核心观点

1. 始终代表中国先进生产力的发展要求，就是党的理论、路线、纲领
2. 始终代表中国先进文化的前进方向
3. 始终代表中国最广大人民的根本利益

¶7.2 “三个代表”重要思想的主要内容

1. 发展是党执政兴国的第一要务
2. 建立**『社会主义市场经济体制』**
   在建立什么样的经济体制问题上，江泽民 根据 ****『邓小平南方谈话精神』，明确提出使用**『“社会主义市场经济体制”』****『
   **党的十四大 正式把 『建立社会主义市场经济体制』 确立为我国经济体制改革的目标
3. 实施“引进来”和“走出去”相结合的对外开放战略：对外开放是一项长期的基本国策

¶7.3 “三个代表”重要思想的历史地位

• **『中国特色社会主义理论体系』**的丰富发展
• 加强和改进党的建设、推进**『中国特色社会主义事业』**的强大理论武器

¶8 科学发展观

¶8.1 科学发展观的科学内涵

1. 第一要义：****『推动经济社会发展』，必须
   • 加快转变经济发展方式
   • 推动科学技术的跨越式发展
   • 培养高素质创新型人才
   • 善于抓住和用好机遇
2. 核心立场：****『以人为本』，要坚持发展
   • 为了人民，始终把最广大人民的根本利益放在第一位
   • 依靠人民，从人民群众的伟大创造中汲取智慧和力量
   • 发展成果由人民共享，着力提高人民物质文化生活水平
   • 最终是为了实现人的全面发展
3. 基本要求：全民协调可持续
4. 根本方法：统筹兼顾

¶8.2 科学发展观的主要内容

• 加快转变经济发展方式
  • 以科学发展为主题
  • 加快转变经济发展方式为主题
• **加快城乡发展一体体制，**新四化
  • 工业化
  • 信息化
  • 城镇化
  • 农业现代化
• 发展**『社会民主政治』**
  • 本质：人民当家做主
• 构建**『社会主义和谐社会』**
  • 胡锦涛**『社会和谐』是『中国特色社会主义』**的本质属性
• 全面提高党的建设科学化水平

  • 新形势下，党面临

    • 执政
    • 改革开放
    • 市场经济
    • 外部环境 危机

    是

    • 长期
    • 复杂
    • 严峻 的

    有

    • 精神懈怠
    • 能力不足
    • 脱离群众
    • 消极腐败 危机

¶8.3 科学发展观的历史地位

• **『中国特色社会主义理论体系』**在新世纪新阶段的接续发展
• 全面建设小康社会、加速推进社会主义现代化的根本指针

¶古典密码

¶代换

• 移位密码（Caesar密码是k=3的特殊情况）

  密钥空间仅25个元素

• 单表代换密码

  密钥空间26!种，足够大

  但是可以通过统计学解密

  • 仿射密码：单表代换密码的一种

    $e(x)=ax+b(mod 26),a,b\in Z_{26}$

• 多表代换密码，一次加密多个字符，掩盖统计频率

  • Playfair密码：两个字母→两个字母
    • 先排成5*5矩阵
    • 一组中的两字母同行，则每个字母用该行的后一字母替代；
    • 一组中的两字母同列，则每个字母用该列的后一字母替代；
    • 非同行同列字母替代，用对角的两个字母替代
  • Hill密码：m个连续字母用m个密文字母代替，乘以密钥矩阵
  • Vigenere Cipher：
    • 密钥确定字母表的顺序，第i个字母表示使用第i个字母表
    • 依次使用字母表，周期使用密钥
  • OTP（One Time Pad）：绝对安全
    • 密钥长度与明文一样长
    • 密文可拓展（可以被修改）

¶置换

• 栅栏加密：横着写竖着读
• 换位技术：明文写为矩阵块，但是列顺序打乱

¶乘积密码

密码的复合

¶对称式密码

¶Feistel 密码

每一轮加密：

$E_k(L,R) = \left(R,L\oplus F(R,K)\right)$

$E_k^{-1}(L,R) = \left(R\oplus F(L,K),L\right)$

加密和解密是一样的，只不过密钥倒序

¶DES

DES密码使用了Feistel架构，其轮函数F和密钥构造如下：

¶轮函数

$F(L,K)= = P( S( E(L) \oplus K ) )$

其中$S$是一个固定公开是代换，$P$是一个固定公开的置换

¶密钥构造

¶3重DES

2DES可以用2^56^攻破（Merkle-Hellman攻击），因此使用3DES，需要2^112^攻破

3DES一般性使用$E_{k_1}\circ D_{k_2}\circ E_{k_1}$

当$k_1=k_2$时，退化为DES

¶Merkle-Hellman攻击：

¶1. 准备阶段（离线预计算）

你说得对，这步不需要知道真实的密钥。

• 攻击者设定中间值 A=0。
• 对于 DES 所有可能的密钥 k（共 256 个），计算什么样的明文 P 经过加密能得到 0。
• 结果： 得到一张表，里面存了 256 组 (Pi,K1,i)，满足 EK1,i(Pi)=0。

¶2. 采样阶段（获取数据）

• 这就是课件里说的“代价：256 数量级的选择明文”。
• 攻击者获取 256 组真实的明文密文对 (P,C)。
• 逻辑： 根据概率，这 256 组里，极大概率有一个明文 P∗，它在真实密钥 K1 的作用下，产生的中间值 A刚好就是 0。

¶3. 破解阶段（在线匹配）

这是你提到的“做一个 2DES”的部分，但重点在于匹配：

1. 从密文端反推： 既然我们假设 A=0 了，那么剩下的两层加密（K2,K3）就变成了一个 2DES 过程：C=EK3(DK2(0))。
   • 注：这里课件为了简化，可能假设了 K2=K3 或者某种两重加密结构，计算量级约在 256 到 2112之间。
2. 寻找匹配： 当你通过密文端算出一组可能的 (K2,K3) 后，你手头已经有了那个“让 A=0”的特定明文 P∗。
3. 最终锁定： 你去第一步那张大表里，查这个 P∗ 对应的 K1 是谁

¶更多发展

IDEA、AES、SM4

¶常用密码算法

¶密码本模式（ECB模式）

用相同密钥对各个明文组分别加密，一次处理

𝑛位明文每个𝑛位明文对应唯一密文

容易被攻击，因为相同𝑛位明文对应相同𝑛位密文

¶密码分组链接模式 （CBC模式）

将消息分为很多块，并通过加密进行链接。已加密

的密文分组与当前的明文分组链接在一起。

需要使用初始向量IV

加密时：

$C_{i}=E_k(P_{i}\oplus C_{i-1}),C_{-1}=\text{IV}$

解密时:

$P_{i}= D_K(C_{i}) \oplus C_{i-1},C_{-1}=\text{IV}$

• 优点
  • 每个密文分组均依据于之前的全部分组
  • 对任意一个分组的改动都会影响后继的所有密文分组
  • 需要初始向量（IV必须随机选择）
• 缺点
  • 如果攻击者获得了IV，可以通过预先改变IV中的某些位，使得接收者的明文中部分位被取反
  • $P_1[i] = \text{IV}[i] ⊕ E_k^{-1}(C_1[i])$
  • 解决方法：在发送消息前用ECB来保护IV
  • 会受到选择密文攻击

¶密码反馈模式（CFB）

类似CBC

加密：

$C_i= P_i \oplus E_K(C_{i-1}), C_{-1}=\text{IV}$

解密：

$P_i=C_i \oplus E_K(C_{i-1}),C_{-1}=\text{IV}$

¶输出反馈模式（OFB）

加密：

$C_i= P_i \oplus O_i$

$O_i=E_K(O_{i-1}),O_0=\text{IV}$

解密：

$P_i= C_i \oplus O_i$

$O_i=E_K(O_{i-1}),O_0=\text{IV}$

优点

• 传输过程中，比特差错不会扩散
• 可以预计算分组，流加密时不需停顿

缺点

• 对抗消息流篡改攻击的能力弱于CFB：若对密文取反，则解密后的明文也取反，可以看作是一次一密的变形（Vernam密码），所以绝对不能重复使用相同的密钥序列和IV
• 发送方和接收方必须同步

¶计数器模式（CTR）

类似OFB

对每个明文，必须使用不同的分组密钥和计算器值（类似OTP，绝不重用）

可以并行处理

$C_i= P_i \oplus O_i$

$O_i = E_K(\text{Counter++})$

优点

• 高效
  • 可以并行处理多块明文密文
  • 可以预计算
  • Good for bursty high speed links
• 随机访问：密文的第i个分组可以随机访问，不需知道前面i-1个密文组（比较：CBC）
• 可证安全：是CPA安全的
  • 前提：使用了真正的随机数生成器生成counter的起始值，并且绝不重用

缺点

• 密钥、计数器值绝不能重用

¶随机数

¶随机性测试

• 测试特征
  • 均匀性：0或1出现的概率和量大致相等
  • 可伸缩性：测试可以用于子序列
  • 一致性：测试针对所有的初始值
• NIST SP800-22给出了15种测试方法
  • 频率测试（最基本）：0/1个数与真随机序列的期望大致相等
  • Maurer通用统计测试：测试是否可以大幅压缩数据且不损失信息
• 不可预测程度
  • 前向不可预测性：不知道种子，无法依据已有bit预测下一bit
  • 后向不可预测性：从序列无法推出种子值

¶伪随机数生成器：

• 形式化定义：
• 指任意多项式时间算法，都不能以不可忽略的概率区分𝐺(𝑠)所产生的序列 vs. 等长的真随机序列。
• 证明：如果攻击者不能区分 PRG 输出和真随机序列，那么他也就不能区分用 PRG 加密的密文与 OTP 加密的密文。

¶对称保密技术

定理：完善保密系统中，明文空间的尺寸

$|M|$一定小于等于密钥空间的尺寸$|K|$ ，即$|𝐾| ≥ |𝑀|$

完善保密，但是不实用

新的安全的定义

• 严格的安全定义（现代密码学的第一准则）：攻击者能力及攻击者成功：安全模型
• 合理的假设（现代密码学的第二准则）：往往是数学难题
• 严格的安全证明（现代密码学的第三准则）：严密的推理过程

一些定义

• 有效的算法：多项式时间可以执行的算法
• 可忽略的量：对任意多项式$p$，都存在$N$，使得对所有$n > N$，都有$f(n)<\dfrac1{p(n)}$
  • 对于加法和乘法封闭

计算安全: 没有多项式时间的攻击者能以不可忽略的概率实现攻击

IND-CPA vs IND CCA：前者只能获得挑战密文的解密结果，后者可以获得除挑战密文外，任意密文结果

¶散列函数（Hash函数）

$h = H(M)$, $M$是变长的消息,$h$是定长的散列值.

• 单向性：对任意给定的码$h$, 寻求$x$使得$H(x)=h$在计算上是不可行的;
• 弱抗碰撞性：任意给定消息x, 寻求不等于x的y, 使得H(y)= H(x)在计算上不可行
• 强抗碰撞性：寻求对任何的(x,y)对使得H(x)=H(y)在计算上不可行

¶Merkle Damgard结构

实际上就和CBC模式比较像，只是使用的f函数不一样，使得该密码不可逆

长度拓展攻击：知道HASH(message)的情况下，也可以推算出HASH(Message||Append)的值

生日攻击：对输出长度为m的Hash函数，值$2^{\frac m2}$决定了该Hash函数抗穷举攻击的能力，因为超过这个值就有一半的概率能找到两个碰撞

¶MD5

• 步骤1：添加填充位(一个1 和若干个0)

  在消息的最后添加适当的填充位使得数据位的长度满足

  $$
  \text {length}\equiv 448 (\mod 512)
  $$

• 步骤2：添加长度

• 原始消息长度（二进制位的个数），用64位表示。如果长度超过2^64^位，则仅取最低64位，即mod 2^64^。

  到此为止，我们已经得到$L$个512位的数据块：$Y_0,Y_1,\cdots,Y_{L-1}$。其长度为$L\times 512$ bits。令$N=L\times16$，令$M[0\cdots N-1]$表示以字为单位的消息表示。

• 步骤3：初始化MD缓冲区

  一个128位MD缓冲区用以保存中间和最终散列函数的结果。它可以表示为4个32位的寄存器(A,B,C,D)。寄存器初始化为以下的16进制值。使用低端格式存储。

• 步骤4：处理消息块（Compress函数）

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

  A_old = A B_old = B C_old = C D_old = D A_prime = B_old + ROL(A_old + F(B_old, C_old, D_old) + M[k] + T[i], s) A = D_old B = A_prime C = B_old D = C_old

  其中T[i] 是 MD5 里预先定义的一组 64 个常数，由正弦函数生成

  ROL是左移，s是左移的位数，预先固定

  F在第一轮中使用，二三四轮分别使用HGI函数，每轮有16步

  $F(B,C,D) = (B \land C) \lor (\neg B \land D)$

  $G(B,C,D) = (B \land D) \lor (C \land \neg D)$

  $H(B,C,D) = B \oplus C \oplus D$

  $I(B,C,D) = C \oplus (B \lor \neg D)$

• 步骤5：重复步骤4，直至结束。

  $\text{Compress}(H_{i-1},H_i)$，其中$H_0={A,B,C,D}$

注：步骤四中还要打乱顺序

• 每轮中X[0…15]恰好被使用一次
• 轮1 保持初始顺序
• 轮2 $\rho_2(i) \equiv (1+5i) (mod 16)$
• 轮3 $\rho_3(i) \equiv (5+3i) (mod 16)$
• 轮4 $\rho_4(i) \equiv 7i (mod 16)$

¶SHA-1

从64拓展到了80（分组数变成5组，4轮）

X[0…15]变成了消息扩展（16→80）

¶SHA-3

Keccak算法，有sponge函数

¶消息认证码(MAC)

• 类似加密函数，但是不可逆
• 提供认证性（信息是全的），不提供数字签名（谁发的信息）

¶DAC

• DES MAC （CBC-MAC)，只输出CBC最后那一个数据块

¶CMAC

• 消息认证：M||C~k~(M)

• 消息加密、认证：E~k2~(M||C~k1~(M))或者E~k2~(M)||C~k1~(E~k2~(M))

• 主密钥 K：用户提供的原始密钥（如 AES-128 密钥）。

  子密钥 K1：由 K 派生，用于处理完整分组的最后一组。

  子密钥 K2：由 K 派生，用于处理不完整分组的最后一组

使用AES+CBC模式

¶HMAC

简单来说：Hash(密钥 + Hash(密钥 + 消息))

实际上：

$$
\text{HMAC}_K(M) = \text{Hash}[(K^+ \oplus \text{opad}) \Vert \text{Hash}[(K^+ \oplus \text{ipad}) \Vert M]]
$$

¶认证加密方式

• HtE/Hash then Encrypt/E~k~(M||H(M))
• MtE/Mac then Encrypt/E~k~(M||MAC(M))
• E&M/Encrypt and Mac/E~k~(M)||MAC(M)
• EtM/Encrypt then Mac/E~k~(M)||MAC(E~k~(M))

¶认证加密模式

CCM：$\text{Result} = \underbrace{\text{CTR}K(M)}{\text{密文 } C} \parallel \underbrace{(\text{MAC}K(M) \oplus S_0)}{\text{加密后的标签 } T'}$，其中$S_0=E_K(\text{Nonce} \parallel\text{Counter}_0)$

GCM模式

¶公钥密码算法

¶数论

¶素数

1. 素数个数无限
2. $\pi(x)$代表不大于$x$的素数个数，有
   1. $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\pi(x)}x=0$
   2. $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\pi(x)}{\frac x{\log x}} = 1$
3. 双生素数有无限多对

¶同余与整除

1. 寻找最大公约数：辗转相除法；也可以用来找到取模意义下的逆元，此时称为拓展欧几里得算法

2. 整数唯一因子分解

3. 等价类和剩余系

   将整数集合$Z$分成$m$个等价类：$[0],[1],\cdots,[m-1]$

   • 模$m$的完全剩余系：$a_i\in[i]\to{a_0,a_1,\cdots,a_{m-1}}$
   • 模$m$的非负最小完全剩余系（$Z_m$）：${0,1,\cdots,m-1}$
   • 模$m$的简化剩余系：去掉模$m$的完全剩余系中，与$m$不互素的那些数，剩下的部分

4. 欧拉定理

   若$(a,n)=1$，则$a^{\phi(n)}\equiv 1(\mod n)$

   特别地，若$n=pq$，$p$，$q$为素数时，有$a^{\phi(pq)+1}\equiv a^{(p-1)(q-1)+1}\equiv a(\mod n)$，即使$(n,a)\ne1$，等式仍成立

5. 费马小定理

   $p$是素数，$a$是正整数，$p\nmid a$，则有$a^{p-1}\equiv 1(\mod p)$

6. 素性测试：返回否定结论一定正确，放回肯定概率出错概率极低，执行多次之后返回肯定结论出错概率大大降低

   常用Miller-Rabin概率算法

7. 中国剩余定理

¶次数和原根

• 次数
  • $(a,m)=1$，使得$a$的幂模$m$同余循环的最小周期$k$，称为$a$模$m$的次数
  • $k\mid\Phi(m)$，但是$k=\Phi(m)$不一定成立
• 原根
  • 若$a$模$m$的次数为$\Phi(m)$，则称$a$是模$m$的一个原根
  • $m$有原根的充要条件是$m$形如$2,4,2^np^l,p^l$，且原根个数有$\Phi(\Phi(m))个$

¶离散对数问题

$y\equiv g^x(\mod m)$，则$x=\log_gy(\mod m)$

由x,g,m计算y容易，但是由y,g,m计算x非常困难

¶一些抽象代数

• 群：封闭性、结合律、单位元、逆元

  • 交换群：群+交换律
  • 有限群：群+元素个数有限
  • 循环群：所有元素可以通过生成元自乘得到

• 环 (Ring)：集合 R 定义了加法 (+) 和乘法 (×)：

  1. (R, $+$) 必须是一个交换群（单位元是 0）。
  2. (R, $\times$) 满足结合律（不要求有单位元，也不要求可交换）。
  3. 分配律：a(b+c)=ab+ac

  • 交换环：满足乘法交换律 (ab=ba)

  • 含单位元环：存在乘法单位元（通常记为 1）。

  • 整环 (Integral Domain)：

    • 是一个交换环。
    • 有乘法单位元 1。
    • 无零因子：即若 ab=0，则必有 a=0 或 b=0。

• 域：整环+每个元素都有乘法逆元

  • 有限域：集合内个数有限

$$
\text{群} \xrightarrow{\text{+乘法,分配律}} \text{环} \xrightarrow{\text{+交换,单位元}} \text{交换环} \xrightarrow{\text{+无零因子}} \text{整环} \xrightarrow{\text{+非零元有逆}} \text{域}
$$

¶公钥系统定义及RSA

仅利用对称加密，在无可信第三方，双方互不信任时，实现双方密钥交换——Merkle Puzzle

但是通信效率低

之后需要非对称算法——公钥算法

需要找到一个单向函数——找到了离散对数

¶非对称算法

1. MH scheme背包问题：本质上是子集元素和——被攻破

2. RSA算法——大模型取模，基于整数分解

   1. 选素数：随机选择两个不同的大素数 p 和 q。
   2. 算模数：计算 n=p×q。这个 n 的长度（如 2048 位）决定了加密强度。
   3. 计算欧拉函数：计算 ϕ(n)=(p−1)(q−1)。ϕ(n) 表示不超过 n 且与 n 互素的正整数个数。
   4. 选公钥指数 e：选择一个整数 e，满足 1<e<ϕ(n) 且 gcd(ϕ(n),e)=1（即 e 与 ϕ(n) 互素）。
   5. 算私钥指数 d：计算 d 使得 d≡e^−1^(modϕ(n))。这一步通常利用图片中提到的扩展欧几里得算法来求解逆元。

   结果：

   • 公开参数：大模数 n 和公钥 e。
   • 秘密参数：大素数 p,q 和私钥 d。

   加解密：

   • 加密：$C\equiv M^e\mod n$
   • 解密：$M\equiv C^d\mod n$

   攻击：

   • p,q太接近
   • 共模攻击：使用相同的n
   • 小e攻击
   • 计时攻击

3. Diffie-Hellman密钥协商，基于离散对数

   就是直接把自己的密钥，用对方的公钥加密发送给对方

   容易被中间人攻击

4. ElGamel加密算法

   系统参数 $p,g$

   Alice选择私钥$x_A\in F_p^*$，计算公钥$y_A\equiv g^{X_A}\mod p$

   Bob发送消息给Alice，密文$C=(C_1,C_2)$，随机选择$k\in F_p^*$

   $C_1 \equiv g^k\mod p$$C_2\equiv y_A^k\cdot M$

   Alice解密过程：$M=\dfrac{C_2}{C_1^{x_A}}$

   • 不抗CPA/CCA攻击（实际使用的是抗的）

¶公钥加密安全模型

¶Chosen Plaintext Attack (CPA)安全模型

1. C发公钥$p_k$给A
2. A发$m_0,m_1$给C
3. C随机加密$m_0,m_1$之后，发给A，让A破解出私钥

¶Chosen Ciphertext Attack (CCA)安全模型

1. A访问$Dec_{sk}()$
2. C发公钥$p_k$给A
3. A发$m_0,m_1$给C
4. C随机加密$m_0,m_1$之后，发给A，
5. A访问$Dec_{sk}()$，让A破解出私钥

增加了一个Decoder，可以随时获取密文对应的明文结果

¶椭圆曲线

$E_p(a,b)(x,y):y^2=x^3+ax+b$且$4a^3+27b^2\ne 0$外加无穷远点

可以证明$E(x, y)$结合所定义的加法构成一个“加群”

$P,Q$两点的连线$L$，$L$与$E$相交于点$R’$，$P+Q$定义为 $R = -R’$。其几何意义为:

• 如果$x_1≠ x_2$， $P+Q=R$：是$P$和$Q$连线$L$与$E$的交点关于$x$轴的对称点
• 如果$x_1=x_2$， $y_1=-y_2$ ，$P+Q=O$：即无穷远点
• 如果$x_1= x_2$，$y_1= y_2$ ，$P+Q=2P$：是过$P$的$E$的切线与$E$的交点关于$x$轴的对称点

它是一个可循环Abel群，因此可以定义离散对数问题，且是困难的，所以可以用于加密

同样可以有DH，ElGamal（只不过是定义在加法群而不是乘法群上面）

加法的具体算法：$x_3=\lambda^2-x_1-x_2;y_3=\lambda(x_1-x_3)-y_1$

¶SM2

规定符号：

• KDF(input): 代表用输入(input)计算出一个给定长度的随机数
• H(input): 代表用输入(input)计算出哈希(hash)函数值
• 所有指数运算都在椭圆曲线群上进行

计算方式：

• 密钥生成
  • 选择私钥$x$，计算公钥$g^x$
• 加密算法
  • 选择随机数$k$，计算$C_1=g^k$
  • 计算$C_2= \text{KDF}((g^x)^k)\oplus M$
  • 计算$C_3= \text H(C_2,M)$
  • 密文$C=C1 ||C2||C3$
• 解密算法
  • 计算$M=C_2\oplus \text{KDF}((C_1)^x)$
  • 验证$C_3= \text H(C_2,M)$是否成立
  • 若成立，输出$M$为解密结果
  • 否则报错并退出

¶数字签名

¶分类

¶直接数字签名

¶间接数字签名

对哈希函数签名

¶RSA签名方案

PKCSA1:先哈希，再签名

要有填充，防止选择密文攻击

¶DSS签名方案

¶ECC签名方案

ECDSA：椭圆曲线上的DSA签名

¶怎么管理公钥

¶最简单的

容易被中间人攻击

¶公开可访问目录

一旦攻击者获得目录管理员私钥，则可伪造任意通信方

¶公钥授权

管理员容易被DDOS攻击

¶公钥证书

类似信用卡，有一定的有效期

¶身份认证协议

¶口令认证

相当于输密码

• 在线字典攻击：穷举所有可能口令（从常用密码开始）
• 离线字典攻击：获取所有H(p~w~)，枚举p~w~
• 带预处理的离线字典攻击：提前计算所有可能口令对应的Hash值

增加破解难度：

• 加公开盐
• 加秘密盐
• 使用慢Hash函数
• 使用高存储代价的Hash函数

¶Kerberos

引入认证服务器、票据服务器，前者只给用户访问票据服务器的票据，后者只给用户访问其它应用的票据

¶X.509认证

数字身份证

链状签发/信任

自签名证书——危险

撤销证书

• 证书撤销列表
• 在线证书状况协议（OCSP）：可以给OCSP服务器验证是否valid

从初中历史课第一次听到10周年版的《悲惨世界》序曲开始，就一直喜欢这部音乐剧作品。高中毕业后，有幸曾在23年上海文化广场看过法语版《悲惨世界》，后来又在24年上影节的院线看了电影版，25年的上影节则在院线看了10周年版的录像，今天终于有幸在上海大剧院观看40周年版的《悲惨世界》音乐会。

我自己的喜好，对于视频部分，必然是电影版最佳——毕竟有很多大制作特效，但是电影版的唱功肉耳可听不如音乐会版，真的很希望未来某一天AI能在把10周年的音频无违和地嫁接到电影版上。对于声音，我还是最喜欢10周年版本的——25周年整体的速度过快，少了庄重；法语版少了几首歌，剧情显得有点不那么连贯了。因此我最熟悉的也是10周年版的，下面的对比绝大多数也都是和10周年版本对比。

和之前一样，我也希望在观看演出前，先重听一遍10周年的专辑——但是很不巧，我这周只带了AirPods Pro回家，没法使用大馒头4听——本来多层次的音乐都被压扁了，低音的信息也丧失了，非常难受。24年上影节电影节版之前我重看了一遍原著，但是这次来不及重看一遍原著了——看了这么多遍，我想我应该也还记得大多数细节。

我这次斥巨资购置了座位非常好的票，坐在5V排正中。实际上第1，2排正中没有排座位，那里有一个延伸至台下的小T台，所以观看的时候可以离演员非常近，甚至有时恍惚间可以同时听到演员自己发出和经过麦克风收声发出的声音。序幕中冉阿让撕碎黄身份证的时候，站在T台往前扔，甚至前面两排的观众还可以捡到。有很多情绪化的表演，包括冉阿让重生、冉阿让归罪、沙威自杀、德纳第夫妇亮相，演员都会走到T台处与前排观众有眼神互动，真的能让人更加沉浸于音乐剧本身，更共情于各个角色。

我本来一直担心40周年版的演出会继承25周年版的速度过快的问题，但最终的节奏蛮符合我自己的胃口的。印象里23年的法大悲是提前录制的伴奏，这次则是现场演出，音质油好了不少。40周年的演出增添了不少的桥段（相对于10周年）。感觉开头冉阿让独白的编曲改了，变得更有层次，也与冉阿让的独白更加对应了，当然也可能是现场版音质更好。在伽弗洛什出场的时候，还增加了伽弗洛什对爱潘妮的介绍，随后沙威也重新登场介绍自己在巴黎的角色。之后还增加了德纳第夫妇在路上认出冉阿让，引来沙威，沙威驱散众人。最后婚礼前，增加了冉阿让向马吕斯介绍自己背景、德纳第夫妇阴差阳错告诉马吕斯自己是被冉阿让所救的桥段。整体上还感觉德纳第夫妇的片段变长、变多了，时不时跳出来逗逗观众，贱贱地活跃活跃气氛。演出中一些性相关的桥段的呈现比之前看的更加露骨，真的很让人担心会被删减掉，好在没有。

我对于演员和演员的唱功实际上没那么敏感，我听上去总的来说还是非常不错的，最重要的冉阿让和沙威都没有让我失望。有点可惜沙威的长发并非像10周年一样是在台上自己散开来的，而是在放冉阿让走之前台下就散开来了。我还是很想看沙威“香消玉损”自己散开长发的场面的。几位热血青年在第一幕并没有穿上他们最标志性的服装，我一开始还以为这次的服装换掉了——尤其是安灼拉标志性的红金服装，但是在第二幕就换上最熟悉的那几身衣服。这次的芳汀是一位黑人演员——其实一开始有点出戏，因为原著中的芳汀是金发美女。我觉得芳汀比较慢热，没有马上进入状态，前几句的换气非常明显，有点影响体验，但是还好最终调整过来了。芳汀是黑人，那珂赛特的演员岂不是也得是黑人——还真是。比较脸盲，开始还以为是一人分饰两角，直至最后一幕两人同时上场才意识到是两个人。这次的爱潘妮和小柯赛特竟然是华人？小柯赛特超级可爱！这一版的德纳第夫妇比较出彩，更“油”、更要面子爱显摆、更“贱”：到T台问观众讨掌声、让沙威在捉到冉阿让的时候别忘了是自己举报的、最后婚礼中用中文对观众说的“你好”、“谢谢”，忍俊不禁。

大悲的舞美也真的豪华——提几个印象比较深的点：舞台上面真的吊了一个“街垒”，在第一幕中街垒是升上去的，下面是灯，第二幕中降下来了。使用闪烁的白色灯光代表子弹，也用这种形式细细演绎了ABC之友社之死。在爱潘妮送信和沙威自杀时降下来的幽幽的路灯——真的让人感到是在阴暗的巴黎街头。以及最后的那两排蓝白红的条状灯——真的让人激情澎湃。还有最后Finale中，能明显感觉到死去的人的声音有一个“更远”的幽灵音效。但我觉得也有两点不如法大悲：法大悲在卞福汝主角出场时，用白光在舞台上方投影出了一个巨大的白色十字架，强调了他真的就是一个善良的“上帝”的化身。法大悲中多次拿出来法国国旗，尤其是在Finale中ABC之友挥舞几面法国国旗，真的让人激情澎湃——不过让一群英国人在中国挥舞法国国旗可能也有点奇怪吧。

其实本来很期待有一个大Encore的——10周年的多国冉阿让、多语言《Do you hear the people sing》和25周年的历代演员都非常不错，但想必也是首演场的专属。谁想到这一次竟然一个Encore都没有，23年的法大悲都有encore，虽然不是《Do you hear the people sing》。略失望，但无妨。最好的大悲永远是现场的大悲——期待50周年巡演，我想我应当是还会再买票的。

¶印象

暑假快结束的时候，我意识到我整个8月都没有出去，心里闷得慌，从那时，我就开始谋划这次在学期中的旅行。对我来说，旅行的一大意义在于“陌生感”。我出生在上海，因此很难在城市中找到陌生感——很不巧，自然景观往往交通不便，对于一个学生的中短期旅途非常麻烦。因此我将目光投到国外，希望从异域中找到陌生感——最终我选择了东京作为旅行的目的地：尽管我曾两度前往日本关西地区旅游，但却从未去过日本首都、亚洲第一城市东京，此番正好弥补如此憾事。

印象中，东京是一座让人迷乱的城市——夜色中的霓虹灯、匆忙汹涌的人潮、闪烁如星光LED灯带。或许有点类似上海的疏远，但是却又有种类似于香港的江湖气。怀揣着对异域的印象与期待，我于21日上午9时，踏入了飞往东京的飞机。

¶旅程流水账

中午降落在成田机场，与朋友在机场的吉野家吃了在日本的第一顿正餐，随后便赶往酒店。一切收拾好之后，竟然4点多已近日落——成日在室内学习工作，竟然已经忘了冬天的黄昏有多早。我们爬上酒店的楼顶，在那里可以看到黄昏中的东京塔。东京塔仍未亮灯，旁边高楼镜子一般的外立面将黄昏的阳光反射过来，也不刺眼。东京塔微微亮灯之后，我们下楼前往东京塔下兜了一圈——我们没有上东京塔，一方面觉得东京塔本质上和东方明珠没什么区别，另一方面上了塔就看不到塔了——或许有点本末倒置。

晚间我们前往上野公园和阿美横丁。朋友没吃过鸟贵族，就去吃了一顿鸟贵族。本来是想去上野公园看红叶和黄叶的，但是晚间所有的叶子都被灯光染成温暖的黄色了。圣诞活动已经开始了，有些树上的LED灯带已经全部点亮了，仿佛奏响了80年代的迪斯科一样。

第二日前往浅草与晴空塔。晴空塔和东京塔本质上也差不多，所以我们也没上去。倒是在浅草寺和旁边的商店街逛了很久，给国内的友人带了一些御守作为伴手礼。去浅草寺求了签。朋友抽到了凶签，系在了寺里。我有些忐忑，但最终抽出来是吉签，将签纸带回了家。在浅草商店街吃了日语老师推荐的*烧肉王（焼肉きんぐ）*非常美味的烤肉自助，虽然小贵，但是吃了很多，当成两顿饭吃了。晚上去皇居外苑兜了一圈——依旧是被灯光染黄的黄叶，所幸是银杏叶，被染黄也不显违和。皇居外围有一些公园是可以进去的，但是里面是不能进的。其实给我的感受只是一个更大、护城河还没干、没有天守阁、仍在使用的日本传统城池。

第三日，就是最让人期待的富士山了。之前为了图快，我们购置了从新宿到河口湖的特急巴士票。但是措手不及的堵车，让我们花了两个半小时才到达河口湖。风景确实秀美，东京郊区的山都是午夜六色的，多い素晴らしい紅葉ですね！我们运气很好——早上起来的时候是阴天，不过在开过来的半路，太阳露出了一个角，到了傍晚终于完全放晴，像个贪睡的大学生一样。中午看着被云层笼罩的富士山，以为山上没有雪，但是放晴之后看清楚了，原来富士山上已经有一些雪了。我带了一个胶片相机，36张照片，几乎全是在富士山这里拍掉的。晚上回东京市里又是三个半小时，本想去日语老师推荐的另一家餐馆登亭去吃鳗鱼饭，但是因为堵车，错过了登亭的营业时间。本想转战24h的一兰拉面，但是发现一兰拉面在深夜的11点仍然是一座难求，只好作罢，最后在买了个鲷鱼烧，又去全家买了点热的，凑合一顿——没想到全家的鸡排与肉包味道竟然比国内的好吃这么多，吃得反倒远超预期，相当满足。

最后一日本想去吉卜力博物馆的，但在前一夜得知那里需要至少提前4天预约，只好作罢。我和朋友由于飞机班次不同，也想去不同的地方的缘故，打算分开游玩。我去了离酒店很近的两个日式庭院——旧滨离宫庭院和旧芝离宫恩赐庭园。又去了趟芝公园看了看白天的东京塔。两个日式庭院很安静，游人不多，看着远处的高楼大厦，耳边竟然没有喧嚣，只有清寥的鸟鸣，心也跟着安静下来。第一反应是，为什么国内的公园打理得不如这些庭院，后来想起来实际上家旁边的秋霞圃、汇龙潭其实也是类似的城市幽处——我应该也多去去这些地方。

本想最后一顿中饭去吃前一天没来得及吃的登亭或者一兰拉面，但一看时间，只好草草赶到成田机场，在成田机场吃了中饭。走上飞机，回望这个小假期，又坚定地走回了平常的生活。成田机场给航空公司准备的飞机餐非常好吃，也是最后的小惊喜了。生活照旧，一切如故。

¶胶囊酒店

本来打算一个人去旅游的，订完机酒之后，朋友才打算和我一起去，因此我们虽然是两个人一起去，但是住的还是胶囊酒店——这对solo trip是最划算的。第一次了解胶囊酒店，是在up主庄子的视频里。胶囊酒店是日本的特色的住宿模式，虽然本质上就是宿舍间，但通过一些视频了解到胶囊酒店还是打理得不错。此外，会有很多solo trip的外国人住在胶囊酒店，可以和来自世界各地的旅客交流，像是世界青旅一样。因此想试一试。

我选择的胶囊酒店是一家连锁店9h nine hours。我选择了港区滨松店，因为那家店的楼顶可以看到东京塔。Check in的时候，店员给了毛巾拖鞋，耳塞可以自取。得知我们是第一次来住宿之后，店员给了我们中文版的须知，之后我们就上楼了。

酒店一共有10楼，男女从电梯开始，就是分开的。男生可去的楼层是2，4，5，7，8，10。

• 2楼是行李室和公共浴室、水槽。还有4个卫生间。公共浴室和水槽非常充足，我住了几天从来没有碰到过排队的情况。浴室也很大，干湿分离，有充足的空间放置衣物。行李室中，每个人有一个小格子。可以把自己的箱子放在小格子下面的空位里，放不下的话可以寄存前台。格子有点小，放自己的包和衣物有点不方便。
• 4，5，7，8层是卧室，我住在4楼的一个上铺406。铺位的小格子其实挺大的，人可以坐直，灯光可调亮暗，也可以拉上床帘，美中不足的是没什么可以放置随身物件的地方，插座也只有一个，最好需要自备拖线板。铺位的隔音其实不是很好，能听到隔壁床的鼾声——这就有免费提供的耳塞的用武之地了。铺位的东西每天早上是要清空的，清洁工会来打扫，第二天晚上可以在床上找到新的睡衣和毛巾。睡衣对我来说有点小，我从来没有穿过，最后全部还给了前台。卧室楼层有一个小阳台。卫生间的隔间外还有一个独立的门，那扇门的开关不会发出任何声音，非常安静。住客基本上也都非常文明，整个卧室楼层是非常安静的。唯一我感到略微不文明的是，几乎每天早上都会被一个闹钟闹醒——有且仅有一个，而且还几次那个闹钟响了好久，估计是没有把主任闹醒。大多数人都是开震动闹钟的。
• 10层是lounge，有插座、桌椅。这里一直有很多人，但是位置是充足的，总能找到空位。这里大家也都挺安静的，像是在咖啡店里一样，或许是不太熟的缘故吧。10楼有一个楼梯可以通往天台，远眺东京塔——但是视角没有预想的好。天台的座位是金属的，有点冷，人不多，因此在天台上反而更容易开启一段对话。

checkout的时候，直接把房卡放在前台就行。但这个酒店在退房后不能寄存行李——虽然实际上也没有人管，但是作为一个高素质的中国人，我还是把行李寄到了车站——几乎每个车站都能寄行李。

¶遇到的人

日本是个国际化的城市，我住的酒店又是类似青旅的胶囊酒店，所以我确实非常期待与来自世界各地的人交流。得益于我朋友的外向，确实也和很多人聊上了。

第一位聊上是第一晚回酒店的地铁上。我朋友在做冥想练习，不经意间与对面的女士对上了眼，那位日本女士又看到免税袋里的chikawa，我们便聊了起来。这一段聊天，我们没有聊什么深刻的内容，我们尝试用自己蹩脚的日语交流，磕磕绊绊，但也能互相听得懂。那位女士祝我们旅途顺利，但事实上也因为我们的这段聊天，让我们不小心坐过了站。

这一晚我和朋友还上了天台看东京塔，在那里和一个沙特阿拉伯年轻人攀谈了起来。那位年轻人本科毕业就工作了，现在他在放他的年假。他的年假有20天，他全部拿来到日本旅游了。我们很惊讶他有20天的年假，他主张中国应该也有。但事实上，最后查下来，中国人工作2-10年，10-20年，20年以上分别只有5，10，15天的法定年假。我们聊到了学业，我说我可能还要去博士。他说他认为工作的经验比在学校里读书重要，因此他早早地出来工作了。其实对这个观点我比较认同，因为我也感受到在学校里学习的效率其实是非常低的，但是我向他解释，在中国如果没有硕士或者博士的学历，是很难找到一份好工作的，因此即使我认同他的观点，我也不得不读完博士再去工作。

第一天晚上，我朋友发现自己手机的sim卡出了些问题，需要重复取出再装入sim卡。可惜很不巧，他的取卡针弄丢了。我建议他去楼下的docomo问一问。第二天一早我们就去docomo了。说来好笑，docomo的营业厅里写着巨大的“不出售游客版sim卡”。本来想排队，但是又来了一位店员。我们问他能不能送或者买一个取卡针，他一开始拒绝了。但是当我们告诉他我朋友的手机有点问题，需要时不时拿出取卡针的时候，他犹豫了一下，从那一串取卡针中拿了一个取卡针送给了我们。“Give you."他为我们破了例。

第二天晚上在天台上又碰到了沙特小哥，但是没多聊。和一个英国人聊了很多。这位英国人看上去三十来岁，是一个汽修工。他说他来东京，飞了14个小时。老牌发达国家还是富有啊，连汽修工都可以在距自己国家14小时飞机的地方旅游2个礼拜。这不是他第一次来东京，他很喜欢东京，甚至有定居的想法，可惜语言不是他的强项，学不会日语。和他聊了很多。他认为不论政府如何，百姓总归都是好的——包括英国百姓、日本百姓、中国百姓。他觉得日本发展的很快，他去年来住的也是这个酒店，那是旁边的大楼还没开始造，现在已经快造好了——我们笑笑，说其实中国基建的速度更夸张，只不过中国建筑的设计确实也不如日本。他是汽修工，于是我们也和他聊了很多汽车相关的。他提到了奇瑞想要进军英国，虽然在中国人心目中，奇瑞是低端车，但是他说奇瑞在英国想冲击高端。他为沃尔沃工作（现在沃尔沃被奇瑞收购了），他说同样的配置，奇瑞比沃尔沃便宜很多，他对此有点感兴趣。我们也聊到了电动车到底环不环保——有种说法，西方不发展电车是因为电本身的生产也不环保。这位英国人认为电车是环保的——至少不排尾气。

第三天我们去了富士山。在富士山拍照的时候，我们遇到了另一波中国游客。我们互相为对方拍拍立得。我和朋友还被错认称同性情侣。在一个红叶很漂亮的机位，基本日本老奶奶和日本阿姨经过，主动提出可以给我和朋友拍合照。她们的英语不太流利，我们的日语也非常蹩脚，就只能打着手势又夹着日语和英语交流。但看得出她们非常和善友好，也非常欢迎我们来旅游——即使中日政府之间交恶，老百姓之间还是友好亲善的。临走时，朋友在沙滩边和一个法国人聊上了天。这是这位法国人的毕业旅行，他独自在日本待了近一个月。他周一离开，和我们一样，要先飞到上海，再转机回国。那天晚上我和朋友回去，路上堵车，最终流落到新桥找晚饭吃。看到新桥的一兰拉面也在半夜大排长龙，我和朋友愣住了。这时一位中国女性听到我们用中文交流，在和我们搭讪，说一兰拉面现在反而是饭店。于是我们开始在大众点评上搜索别的饭店。这时候她问我们喝酒嘛？我说不不不，只是来找晚饭吃。我这才突然意识到，原来她和她旁边的朋友，实际上是站街女。估计她也是有些尴尬，告诉我们“那里吃的多”，于是我们就分别了。她认识挺好的，只不过以这种方式认识实在有些尴尬。

最后一天，倒是没在日本遇见什么印象深刻的人，只记得在登机口的日本官员会用中文说：“谢谢。”下了飞机之后，在浦东机场照机连线的入口——指引真的是做得非常差。一位上海老太太也在找，于是我们搭话起来，后面也一起坐机连线聊天。她看上去就是那种老知识分子，举止穿着非常优雅。她的儿子移民德国，这次是在浦东机场送孙子去德国。和她聊起中日，她主张：“出过国，见过外面的人，都不会觉得这是什么事儿。”我深以为然。忘记和她聊了什么了，但印象里她的举止、她的观点，都让我感到我也想成为这样的人。

¶感受

去东京前，我一直对于东京是“亚洲第一大城市”感到不服气。总觉得上海、香港、新加坡都能扳扳手腕，但是去了之后才真的服气了。东京的楼宇不高，但是市区的面积非常广。东京没有淡季，即使我在11月去，新宿街头依旧游人如织。东京的国际化也是上海香港甚至是新加坡不能及的——真的能看到全家的店员有黑人有白人。上海与东京还是有很大差距的。道阻且长！

¶引

2025.10.22，ChatGPT Atlas横空出世。目前仅支持Mac端客户端。恰好我自己就是Mac，因此在今天小小地尝试了一下。

对我来说，我先入为主地认为我不会把主力换成Atlas，因为迁移浏览器的成本非常高。但是如果Atlas有比传统浏览器更加显著的优势，我认为我还是非常乐于更换的，但是简单使用下来，发现由于响应速度和使用习惯的原因，我还是会继续使用传统的浏览器。

¶ChatGPT Atlas

传统浏览器使用的是搜索引擎，按下搜索键之后会立即出结果。但是Atlas默认是AI生成总结，要等AI先思考，再一个一个地吐Token。就我自己的经验来看，现代人都是非常没有耐心的。1s生成的搜索结果页，我们可能就往下划一下，看看有没有什么需要的，还有一些阅读和等待的耐心。但是看到一串还没讲完的话，好比好视频不能两倍速，大家很可能就切屏分心做别的事情了。

在检索资料方面，搜索引擎的精确性和真实性依然强于AI。我既然都使用浏览器了，说明我还是希望对于检索拥有更高的自主权——如果仅仅是需要获得大概的信息，我直接使用AI就是了。其实对于AI和搜索引擎的平衡，我认为谷歌“AI”概括+网页展示的模式和UI比Atlas做得更好，我也更加习惯**。**

使用习惯上，Atlas和传统浏览器也有所区别，我是一个喜欢在搜索栏使用“搜索引擎名+搜索内容”中指定搜索引擎搜索的人，例如我已经习惯了在搜索栏中使用“豆瓣+电影名”来直接在豆瓣中搜索电影。但是目前为止，好像Atlas还没有这个功能，而是总是默认使用AI。

事实上，我注意到，其实对于最基础的搜索功能而言，无非是OpenAI自己做了一个“搜索引擎”，但它是不开放的，把搜索结果页的链接拷贝到别的浏览器，是无法被识别的。这一点上感到OpenAI做得不够“open”，这个阻碍虽然确保了用户在自己手里，但是也让别的用户投奔Atlas变得困难。

Atlas的搜索结果现在和谷歌很像，我不清楚Atlas有没有使用AI功能筛选出了那些更有用、更相关的网页——我认为这个筛选才是AI的优势所在，省去了人工筛选的经历。不仅如此，这样以来AI搜索结果的倾向性也比搜索引擎更难操控，或许还降低了bias？谷歌的搜索算法会有一些攻击混淆方式，对于ChatGPT的搜索结果，会不会也有一些攻击方式呢？期待一下发展。

但必须承认，浏览器不止搜索引擎，它能够识别网页具体内容并帮助用户作出响应，这一点可以极高地提高工作效率。网页内容的通用性，又让所有的网页App可以因此获得很强的功能。已经可以想见到AI写文档、AI写email、AI画思维导图、AI写作业等等潜在的功能了。这一点可喜可贺。但是我的疑问是，这不相当于就是一个浏览器插件嘛？还是说Atlas中AI对浏览器的掌控更加底层，因此能做更多的事情？

关于Atlas能不能撼动Chrome，我认为还很悬，因为目前它的表现在我看来不尽如人意，况且目前Atlas仍旧在使用Chromium核心。

¶我构想的AI浏览器

就我自己构想，我认为我心中理想的AI浏览器是这样的：浏览器本身能够随时引用搜索结果、浏览历史作为上下文，就好比Cursor一样，除此之外，各项功能和传统浏览器没有区别。（这么一来Edge+Copilot其实有点接近？）浏览器可以自定义搜索引擎。

因此也要构想一个理想的AI搜索引擎：首先，对于搜索的文本，AI应当自动判断我的意图，决定回答AI对话还是网页搜索结果，两者也可以手动切换。对于后者，我还是认为谷歌目前AI梗概+网页是比较理想的response。但同时搜索引擎的搜索结果让AI根据默认或者自定义的Prompt，筛选真正语意相关的网页。

期待一下AI浏览器的发展。

今天是2025年10月1日，今晚我与母亲住到了jt，想住几天。其实原本我是想一个人住两天的，不过恰逢外公外婆去崇明旅游，我和母亲便一起住了过来。来之前，去了一趟旁边新开的盒马超市，拎着大包小包，分了两次才将所有的东西都搬上楼。搬完之后，我下意识地向阳台走去——实际上，不来璟庭，我根本不会记起来这一棵银杏树的，但是每次来了，我总想去看一下它，确认它还在。

2014年，我在曲阳路学而思学习奥数。学而思的对面，我们停车的地方，有一排银杏树。银杏树的果子掉下来，落在地上，生出了根，却没扎进土里——想来也不过是垃圾桶或是除草机的命运。我与父亲把小苗带了回来，栽进土里——一晃已经十一年了。照理说，十一年的树，也应当不小了，不过想必是因为种在盆里憋屈，它也只有人的手指那么粗。曾经还一直开玩笑“等买了大‘别野’，有了大院子，就把它栽在土里”，没想到“别野”影子也没有，树却先枯死了。

近几年，到了冬天，它的叶子是照常落光，但春天则越长越少——想必是衰败的前兆吧。搬离璟庭之后，这里无人打理，只有每几周母亲来浇点水。我记得我曾经说过想给它换个盆，松松土，但也在细碎的生活之中，遗忘搁置了此事。去年冬天，银杏落下了最后的叶子，今年春天却没有长出叶子，而我竟然直到今年初秋才知道。

银杏死了，光秃秃地立着，旁边散落几片去年冬天落下的树叶。阳台上的仙人掌无人照料，却也郁郁葱葱，像是一片沙漠。沙漠曾经也是绿洲，也是海洋，但现在只有仙人掌和沙子。

该走的走了，该去的去了，该变的变了。人最怕变化，求平淡安稳，但实际上却又被命运洪流推去陌生的未来。熟悉的当下，总是渐渐变得陌生——陌生本身不让人难过，甚至让人兴奋，但熟悉与陌生的对比，总让人生出物是人非之感。我最怕失去，甚至为此不愿意拥有，这样的我面对这些变化，也只能用过记忆来对抗世事的消亡，用文字来对抗记忆的消亡。

苏子曰：“盖将自其变者而观之，则天地曾不能以一瞬；自其不变者而观之，则物与我皆无尽也。”可我觉得“变”的悲哀不在于“恒定”之“短暂”，而在于“我”仍为“我”。回望之后，还是需要转过头，往前走。

再回首，恍然如梦。

过年了！过年了！

2025.9，加州来电如约而至。我认为这一次基础款有大升级，pro款有点争议，对中国大陆的影响比较大。总的来说，和之前rumor中提到的差不多。

Design is not just what it looks like and feels like. Design is how it works.
—— Steve Jobs

今年开头的视频和几年前的《了不起的设计》有点像，喜欢。我认为设计中最重要的是设计语言的一致性，我本人也非常重视这一点。但是Apple真的是把一致性做到了登峰造极——连AirPods的俯视图都能和灵动岛拼起来，令人佩服。

¶AirPods Pro 3

AirPods Pro是现在Apple依旧在市场上保持压倒性优势的一个品类，也是我比较喜欢的一个品类，我认为升级还算稳健，只是前代机型太强，不知能否激起大家的换机欲望。

¶降噪

比AirPods Pro 2强2倍！

当初 AirPods Pro 2 的时候，我还在为 AirPods Pro 1 的降噪效果震撼，无法想象再好两倍会到什么程度。

现在我同样对于再好两倍会到什么程度。

“世界上最好的降噪耳机”，没有限定词！

¶健康功能

可以检测效率了，rumor说是因为在 AirPods Pro 上增加了一个特殊的摄像头。

我认为是有道理的，确实很多人会在跑步的时候戴耳机，如果能够顺便记录运动数据，确实是不错的功能。

但是这样一来，它的定位就和Apple watch撞车了。不过回归原教旨主义了——iPhone会杀死iPod，但是苹果依然发售了iPhone

¶环大陆功能

去年喜提环大陆功能：助听器功能。因为在中国健康相关的证明比较困难。我不熟悉证件方面的政策，不好评价。但平心而论，我认为 AirPods Pro 会是一个性价比很高的助听器——性能、续航、智能化。事实上，我自己就常常把AirPods当成智能义耳。开关降噪就是控制开闭，它还能播报一些信息，像是听力版的 HUD （抬头显示）。

今年又喜提环大陆功能：实时翻译。我认为非常强且实用的，干掉了很多专门的实时翻译硬件（没有考证，但是印象里价格上都算便宜）。我本来以为它算是 Apple “翻译 app ”的子功能，但实际上似乎属于 Apple Intelligence 的子功能，因此国区没有本功能。期待该功能在各家耳机上实现，让世界的交流越来越顺畅。

¶其它

这次的外观小改，史诗级！但是大多数人看不出外观的改动吧？

续航由6小时改为8小时。可是我认为这其实用处不大，因为我认为对于大多数人来说，被迫摘下 AirPods Pro 的原因不是因为电量不够了，而是耳朵开始难受了。

¶Apple Watch

感觉 Apple Watch 系列没什么大的升级，因为看完之后回想，我竟然想不出几个新功能。

小结：

• 对于所有机型：支持 5G ，续航增加
• 对于 SE ：全天候显示

我认为原本对于Apple Watch SE 而言，其最大的问题就是没有全天候显示而失去了作为一款普通手表的便捷。但当现在补上了这块短板，我认为它将比数字版又更大的受众—— Apple Watch 本身也没什么用，所以性能差一些、黑边厚一些、外设差一些，问题不是很大。但是另一个问题是：Apple Watch 在我看来本身只是一个非常便宜的奢侈品，所以这样一来数字版的定位很尴尬——既没有SE的性价比，又没有 Ultra 的价格与外观。

还有件有趣的事情：Apple 官方的参数上，Apple Watch 终于不是祖传的反向虚标：数字版18h，Ultra 36h，但实际上续航每年一直有提升。这次终于标成了24h和42h。

¶iPhone

¶对全系

几年前推出的备受好评的超瓷晶面板升级了第二代。高中的时候看Leo的 iPhone 13 因为用了超瓷晶面板，所以不贴膜，手机屏幕的磨损情况也还行。但是当我和他都升级至 iPhone 15 Pro 之后，我们觉得防磨损刮削能力反而变差了，有点奇怪。希望超瓷晶面板二代能够干掉贴膜。

前置摄像头传感器变成方形的了，是好事，但也就这样。

¶iPhone 17

ProMotion！ProMotion！ProMotion！

高刷终于下放到了 iPhone 标准版。

记得最开始的rumor说是 iPhone 16 会上高刷，后来变成了17会上，后来又变成17不会上，因为是“Pro” Motion，然后还有人说120Hz变成90Hz，砍掉 AOD （熄屏显示）。但是最终终于是和Pro同款的ProMotion：1-120Hz，支持AOD。

但是这件事情不该夸。

忘记在哪个地方听到的观点，对于苹果来说，60Hz屏幕生产线未必比120Hz屏幕生产线便宜，因为现在市面上很少有手机还在继续使用60Hz的屏幕。但是苹果依旧使用60Hz的屏幕，只是为了确保标准版与Pro版有区分度而已——实际上是苹果的傲慢。包括iPad标准版的60Hz非全贴合屏幕也是一个道理。这让我想到了几年前的一种说法——安卓机长板非常长，短板也非常短；苹果机更加水桶——现在60Hz的屏幕在这几年竟然成了水桶上的一块非常短的短板。

目前而言，认为 iPhone 17 将会是钉子户，但也等等评测吧。

¶iPhone Air

认为这是一个不会大卖，有其明显缺陷的机型，但它对于苹果和中国大陆都有较大意义。

¶苹果的试水

¶薄

变得那么薄自然而然就想到这实际上是半个iPhone Fold。我认为苹果确实是在为折叠屏做准备，但是我保持我一贯的态度：折叠屏对于大多数人没有用，因为比例问题以及缺少一支笔——所以尽管不欣赏华为，但是不得不说认为华为Mate XTs是有道理的——三折叠让展平的比例变正常了，也配上了手写笔。

¶自研基带

iPhone 16e上使用了自研的C1基带，维持性能的同时提升了能耗[^1] 。时隔半年，苹果端出来了自研基带C1X和Wi-Fi蓝牙芯片N1，却只在Air机型上使用。我认为这带有一定的实验性质，可能是为了未来自研基带甚至是将基带集成进SoC（集成CPU）铺路，一如Apple Watch Ultra上橙色的钛合金按钮为 iPhone 15 Pro 的钛合金中框铺路。

¶对大陆的影响——eSIM

还是西药好使。

2015年，三星手表搭载 eSIM；

2017年 Apple Watch 跟进；

2018年，iPhone 和 iPad 跟进；

2022年，美版iPhone只搭载eSIM；

2023年，中国三大运营商暂停eSIM。

平心而论，中国的eSIM是在推进的，但是速度落后于大多数发达国家，2023年甚至开了倒车，在安卓手表端全面暂停。eSIM在中国的进度，一直听到的说法是为了反诈——但是实际上eSIM本身的安全性比实体SIM卡更高，因为更换SIM卡更容易留下痕迹们，同时也可以保留实名认证。说三大运营商在试水，研究eSIM在中国国情下如何落实，如何避免法律的空子，我是认的，但是依旧认为速度太慢——同样的水，为什么发达国家领先了这么多——纵然有国情的不同，同样在最重要的终端——手机上搭载eSIM，美国的2018和中国的2025，可相差了7年。

结果还是苹果这条鲶鱼，逼着运营商推进eSIM。

今日，联通的一个白皮书在网上流传，有很多流言蜚语，我自己找到资料，其中与eSIM相关的一段如下：

网上又了很多的解读，但是我认为这份文件实际上写得非常模糊。什么叫做“双向机卡锁定、跨境写卡禁用”？在iPhone Air发布之后，反而是苹果官网给出了更明确的信息[^2]，总结一下：

1. 外版iPhone用不了国内运营商的eSIM
   • 老外来中国用不了eSIM怎么办？旅游流量包？
   • 留学生在外国购置了eSIM手机，回国之后怎么使用？
   • 海外版纯eSIM手机在中国的市场会变小吗？期待一下华强北大神了
   • 不要说现在还有实体SIM，所以不用担心这些问题，很可能几年内就会全面普及eSIM的
2. 可以激活境外的eSIM，前提是自己的位置在国外
   • 这点我认为没毛病，可以接受
   • 注意是“激活”，相当于可以先在中国买外国eSIM，把信息写入手机，但是等到落地国外再激活，合理！
3. eSIM要去线下营业厅办理
   • 认为是脱裤子放屁。纯线上办理就是eSIM巨大优势之一。线上也可以实名，不会有安全问题
   • 事实上，之前阴谋论说eSIM在中国不普及就是动了运营商的蛋糕，因为纯线上太透明了

¶其它

背板的材料也从陶瓷升级为了超瓷晶面板，同样对于背部的抗磨损刮削也有了较大的提升。但是我认为现在的防摔能力依然不能让我放心地不带壳使用。

真的对续航很担心，6.5英寸的更大尺寸塞下更大电池，官方专门为Air设计磁吸充电宝，感觉都像是打的补丁。

本以为Air会是17 Air，代替的是 Plus 和 Mini 的位置，因此应当是与标准版相同的芯片。但是看到A19Pro芯片和7999的起售价，才意识到这其实是Pro的定位。

¶iPhone 17 Pro / Pro Max

这也是一个很难评的机型啊，设计理念真的好安卓——从宣传海报上的“Pro”字体开始。

¶摄影

首先，对我而言，我最馋的是13-200mm的变焦。苹果把1200万像素的5倍长焦镜头升级到了4800万像素的4倍长焦镜头，可以裁剪为1200万像素的8倍镜头。13-200mm的变焦是真的爽啊！

我的相机是黑卡7，24-200mm。当时我坚定地选择卡片机而不是微单的原因是，微单我可能根本不会带出去。当时我坚定地选择了卡片机而不是手机的主要原因是光学大变焦。但是我现在发现：

1. 两者对于光圈的调节都相当有限；
2. 黑卡7或许调色空间更大，但是我不会经常调色；
3. iPhone的HDR更加方便，效果更好；
4. iPhone有更好、更方便的夜景拍照。

这下让我真的开始认同，卡片机该被淘汰了。

（至于为什么安卓手机有大变焦的时候，我没有这种感叹，主要是因为我是苹果用户吧——提升到自己头上的时候感触才最大。）

（但是卡片机真的优雅）

（期待Sony A7C3，但是全画幅机的大变焦太笨重，纠结）

（或许应该去配大光圈定焦，但是自己也没那么专业，也就自娱自乐玩玩）

但是！

但是为了获得更好的影像性能，deco（摄像头那块的凸起部分）竟然变成这个形状，致敬母公司Xiaomi 11 Ultra!

丑，太丑了……没想到rumor是真的……

¶散热

本次发布会的题眼，加上了均热板，很好！

为了散热换回了铝合金一体机身，我可以接受，对于不锈钢和钛没有执念。

但是一体机身与背面的2代超瓷晶面板的拼接，实在是太丑——也是为了散热和Magsafe做的妥协。

相信有人站Magsafe，希望回到“中框”而不是一体机身的模式。

也有人站均热板，认为没什么人用Magsafe，希望删掉超瓷晶面板，全部换成铝金属。

你站哪队？

¶其它

这一次没有发布iPad和Mac，所以认为今年10月应该也会有发布会

这一次的发布会录制没有全在 Apple Park，而是在各个 Apple Store （我猜是加州和纽约的？没认出来）。期待下次在世界各地的 Apple Store 录制

Craig竟然没出席TT，期待10月发布会他介绍iPad

[^1]: iPhone 16e深度评测：苹果C1自研通信模块省电吗？信号如何？

[^2]: 在中国大陆将 eSIM 与 iPhone 搭配使用

认为优化算法可以分为三部分：

1. 批量部分
2. 更新部分
3. 调整学习率部分

¶1 批量部分

GD: 最初的算法为梯度下降（GD），对所有样本损失的平均作反向更新

$\mathbf g_t=\dfrac1{|I|}\sum\limits_{i\in I}\nabla\mathcal l_i(x_{t-1})$

¶2 更新部分

主要调整步进的方式，方法之间的关系与更迭的逻辑如图，具体算法见下：

Momentum：

$\mathbf v_t=\beta\mathbf v_{t-1}+\mathbf g_t$
$\mathbf w_t = \mathbf w_{t-1}-\eta\mathbf v_t$

AdaGrad:

$\mathbf s_t=\mathbf s_{t-1}+\mathbf g_t^2$
$\mathbf w_t=\mathbf w_{t-1}-\dfrac\eta{\sqrt{\mathbf s_t+\epsilon}}\cdot \mathbf g_t$

RMSProp:

$\mathbf s_t=\gamma\mathbf s_{t-1}+(1-\gamma)\mathbf g_t^2$
$\mathbf w_t=\mathbf w_{t-1}-\dfrac\eta{\sqrt{\mathbf s_t+\epsilon}}\cdot \mathbf g_t$

Adadelta:

$\mathbf s_t=\gamma\mathbf s_{t-1}+(1-\gamma)\mathbf g_t^2$
$\mathbf w_t=\mathbf w_{t-1}-\mathbf g't$
$\mathbf g't=\dfrac{\sqrt{\Delta\mathbf x{t-1+}\epsilon}}{\sqrt{\mathbf s_t+\epsilon}}\cdot \mathbf g_t$
$\Delta \mathbf x{t}=\lambda\Delta\mathbf x_{t-1}+(1-\lambda)\mathbf g'^{2}_{t}$

Adam:

估算动量和二阶矩：
$\mathbf v_t=\beta_1\mathbf v_{t-1}+(1-\beta_1)\mathbf g_t$
$\mathbf s_t=\beta_2\mathbf s_{t-1}+(1-\beta_2)\mathbf g_t^2$

无偏化处理:
$\hat{\mathbf{v}}_t = \dfrac{\mathbf v_t}{1-\beta_1^t}$
$\hat{\mathbf{s}}_t = \dfrac{\mathbf s_t}{1-\beta_2^t}$
更新：
$\mathbf g'_t=\dfrac{\eta\mathbf {\hat{\mathbf v}_t}}{\sqrt{\hat{\mathbf s}t}+\epsilon}$
$\mathbf x_t = \mathbf x{t-1}-\mathbf g'_t$

¶3 学习率部分

最简单的是固定学习率

• 随迭代轮数减少学习率

  • 单因子调度器：$\eta_{t+1}=\eta_t\cdot\alpha$

    为了防止衰减过度，一般使用：$\eta_{t+1}=\max(\eta_{\min},\eta_t\cdot \alpha)$

  • 多因子调度器：$s={5,10,20},t\in s时，\eta_{t+1}=\eta_t\cdot\alpha$

  • 余弦调度器：$\eta_t=\eta_T+\dfrac{\eta_0-\eta_T}2(1+\cos(\pi t/T))$，$t>T$后不更新

• 增加预热期

  • 线性增加

正在学习李沐老师的d2l课程，梳理一下提到的几个标志性的CNN的逻辑以及发展的逻辑。

¶1 LeNet

LeNet是最早的卷积神经网络，引入了卷积层、池化层等等。其架构如下：

那时的汇聚层、激活函数还是AvergePool和Sigmoid/Tanh，并非后来实践表明表现更好的ReLU和MaxPooling。

¶2 AlexNet

与LeNet思路类似，在imageNet比赛中取得了不错的成绩，证明了更深更大的模型可以有非常好的效果

1. 更深的模型层数
2. 卷积通道数目巨大，卷积窗口更大
3. 激活函数从Sigmoid/Tanh改成ReLU
4. 通过Dropout全连接层控制模型复杂度
5. 使用大量增强数据：翻转、裁切、变色

其架构如下：

¶3 使用块的网络（VGG）

在AlexNet的实现中，我们可以意识到两件事：

1. 更深更大的神经网络确实可以有更好的效果
2. 有很多层的组合（例如卷积层+池化层）反复出现

因此为了方便构建模块化地构建更大的网络，我们可以将一系列“层”定义一个“块”，以“块”为基本单位之一构建网络。

¶4 网络中的网络（NiN）

VGG把神经网络的规模做得非常巨大，但是此时又暴露出了内存/显存占用巨大的问题——尤其是卷积层之后的第一个全连接层，因输入输出的维度都巨大，参数的数量也巨大。

为了改善存储占用的问题，NiN网络中使用了使用NiN块与GAP层。

• NiN块中使用了1$\times$1的卷积层，相当于通道维度的全连接层，不仅可以减少参数量，而且可以减少过拟合
• Global Average Pooling （GAP）层被用来代替全连接层，减少了存储的参数的数量

¶4 含并⾏连结的⽹络（GoogLeNet）

有了NiN之后，我们有了控制网络总参数量的工具。由此，我们可以构建更深、更复杂的网络。

GoogLeNet的想法很自然：

• 在我们构建了足够强大的线形网络之后，我们也可以构建一些并行的有分支的网络
• 在纠结要用哪一种卷积参数的时候，我们可以选择全都要

GoogLeNet也借鉴了NiN网络：

• 使用了1$\times$1的卷积网络降维通道
• 使用GAP层，代替全连接层
• 在深度的维度上拼接，实现了并行输出的整合

首先定义了一个Inception块

其中白底的仅仅是用于调整深度，深紫底的才是实际提取特征的层。

由此可以构建出GoogLeNet

#

¶5 残差网络（ResNet）

• 超深神经网络存在两大挑战：
  1. 参数量庞大，计算和存储开销大。
  2. 深度增加导致梯度消失/梯度爆炸，训练困难。

前者在前面的模型中已经解决，后者ResNet可以解决。

ResNet的核心思想如下：

1. 更复杂的网络应包含原有的更简单网络，保证性能至少不劣于浅层网络。
2. 引入残差函数 $F(x) = f(x) - x$，将学习目标改写为：$f(x) = F(x) + x$

残差函数的作用主要想概括为以下两点：

1. 保证“性能不劣于浅层网络”

   • 当 $F(x) = 0$ 时，网络输出即退化为恒等映射 $y = x$
   • 网络可以在恒等映射附近开始学习，使训练更容易
   • 如果$F(x)$对于结果不好，那$F(x)$拿不到梯度，还是在0附近

2. 梯度传递优势

   • 前向传播时，恒等映射提供了直接捷径
   • 反向传播时，梯度可以沿 $+x$ 这条捷径无衰减地传回，缓解梯度消失问题

ResNet最大的挑战是：相加的时候捷径的形状不同。

1. 通道数量不同

   通过增加$1\times1$卷积层来控制通道数

2. 维度不同

   通过卷积核为1，有stride的卷积层来控制维度

ResNet基本结构的图示如下：

¶6 稠密连接网络（DenseNet）

DenseNet 继承了ResNet的思想，将其进一步发展。

如果说ResNet是泰勒展开的一阶近似，那DenseNet就是高阶近似。DenseNet讲更多的过往的层传到现在的结果。

DenseNet主要由两种块构成：

• 稠密块

  大量旁路，为了将这么多结果整合在一起，DenseNet像GoogLeNet一样，在通道维度把结果拼接起来。

• 过渡块

  经过稠密块后通道数巨大，因此使用$1\times1$卷积层减小通道数，使用平均汇聚层减小维数。

第一次发现按下快门和扣下扳机这么像。打开机身，打开枪膛；放入胶片，塞进子弹；按下快门，扣下扳机：前者定格世界，后者定格生命——都是永恒，不过前者创造，后者湮灭。

影片的开头就用这一段蒙太奇展示了两者的相似性，伊藤秀夫拍下杀人的照片，日军新兵杀人。伊藤秀夫眼中似乎有同情与震撼，甚至还“救”了阿昌——他叫阿昌“朋友”，给阿昌报名表通行证，看似同情中国的动摇者、庇护中国人的善人——影片开头似乎在用尽方法欺骗说服观众：伊藤秀夫是好人。伪善的伏笔暗藏其中：梦想是继承参加甲午战争的爷爷攻入中国、通行证上面的“有效期两日”。或许他有过人性中朴素的对恶行的排斥与对自己所做的动摇，我不认为他毫无人性，但军国主义将他洗脑让他罔顾人性的忠告，他从未正视人性与自己所做所为的矛盾，陷入阿伦特所说的“无思”的状态。

照相馆是一个很巧妙的切入点，在这个特殊的时候，照片的媒介必须通过照相馆才能刊出，主角一行也由此看到了真实的、血淋淋的南京。但更加令人触目的是，照片里的不是一群陌生人，而是一群街坊邻居。昨日身边活生生的人，成了今日照片里惨死的人，让人感到倒吸凉气但又愤怒——老金说：“我们不能当汉奸。”于是这一行人里，没有一个汉奸， 林毓秀和小孩活了下来，传出了照片；老金妻女死得意外，且因死亡毫无意义，更加令人扼腕愤怒；老金与阿昌用自己的方式，物理、精神上都算是出了口恶气；宋存义用自己的生命换来了其他人的活命，用南京城墙砸死了日本人。只有汉奸死得像狗一样。

《鬼子来了》中，日本军队在影片开头给小孩糖，在最后杀光了小孩。伊藤秀夫一开始给了阿昌生存——连给生存的权利竟然都能算是恩赐了，甚至或许真的对于阿昌产生了一种近似友谊的情感。但是在长官的催促下，在他自己的军国主义思想下，他拒绝了人性，并且要用杀死阿昌来彻底斩断自己的人性。可怜老金至死也不知道自己的妻女已经死了。伊藤秀夫最后冲进照相馆的时候依然在撒谎：“我当你是朋友。”无牵挂无生路的阿昌说实话：“我们不是朋友。”一句“中日亲善”贯穿始终。

一般来说，我不爱看主旋律抗战片——反而是被一些手撕鬼子的无端滑稽和强行升华的价值观消磨掉了忍耐力。好的电影想要传达它的情感与价值不需要直白地喊出来，而是让观众自己滑向那种情感，自己解读自己的价值。南京照相馆最后的煽情使用了大量蒙太奇——照片本身就是很好的蒙太奇的桥梁。老金换进伊藤秀夫胶卷的南京市民日常胶卷和南京市民被杀的镜头不断切换，普通生活的美好以这样一种方式在观众眼前被撕碎。日常胶卷掺杂在屠杀胶卷里，伊藤秀夫看后暴怒——被撕碎的美好用这样一种方式完成了自杀式的反击，杀死了伊藤秀夫。伊藤秀夫曾说：“支那人的照片不重要。”支那人的照片杀死了他，他自己的照片杀死了日本军官。

《辛德勒的名单》中，德国军官曾试图枪杀犹太人，扣下扳机之后几次发现枪坏了，最终不杀了，最终他也类似地像个玩具一样被杀死。同样是报应，胜利后，还是在南京，曾经草菅人命的日本军官在同一个地方被枪毙，同样是快门和扳机，这次照片和子弹成功相遇了。

片尾曲，昔日的南京照片放到今日同样的地方，如今国泰民安，不见昔日日寇，只见车水马龙，感慨万分。

也在想，这部电影有可能出海嘛？电影本身质量不低，《辛德勒的名单》、《拯救大兵瑞恩》甚至《壮志凌云》都能够在国际上享有自己的话语权，那《南京照相馆》有可能嘛？

看完电影，骑车回家，下大暴雨了，淋了一身湿——也好久没有淋过雨了。上海在下雨，南京也在下雨吧。

6/28晚上，我抵达新加坡国立大学，开始近一个月的暑期项目。现在我坐在uTown，不知道应该做什么。项目在今天下午完成了最后的展示，只要明天轮流坐在摊位前介绍就行了。展示之后，我不知道去哪里，想了想，还是来了uTown，一方面自己不习惯一直待在寝室里；另一方面其实是想吃潮州猪脚锅，吃一些猪肉。

我仍旧坐在Education Resources Center的那个靠近且面对大草坪的位置，但是今天却不知道该做些什么。天气还是很好，很多毕业生穿着学士服在拍毕业照，草地上几只小狗在玩闹，我旁边的一只哈士奇被大爷牵着也在朝那里看——这只哈士奇每天都来。我非常喜欢这里的云，这里的云是立体的，饱满的，竟让我感觉和西藏的云有点像，甚至同样都很低。云飘得很快，天渐渐暗下来，云变成橙色和黄色的了。我去Fine Food吃我心心念念的猪脚锅了。

我突然间意识到，这可能是我最后一次来uTown了，也可能是最后一次在uTown看夕阳了。我不知所措，是因为已经意识到这段旅程即将结束，我无法暂停时间，因而只想郑重地点上一个句点——这也让我猛然感到，应该写点东西了。

这是7年前的照片了

新加坡，我第一次来这里是7年之前。那个时候疫情尚未来临，父母还未离婚，经济仍然向好。那段旅程让我不敢忘记，因此我开始写日记，从2018年8月1日，也就是第一天从上海出发抵达新加坡的那一天开始。当时正好赶上了新加坡国庆，看到各种奇怪的飞机飞来飞去，回去的时候在樟宜机场一开始不愿四处逛，临走前又发现来不及去看看仙人掌馆。鸭子船、花穹、云雾岭、夜间动物园……我现在还能记起的似乎也只有这些毫无意义但是充满情感的碎片了——日记就是让我更加放心地遗忘吧。

这次出发前，还在做歌手大赛的那段时间，我就经常梦见自己来到新国立——梦中的新国立有一个类似上中的校门，门口就是地铁站和酒吧——我很向往，但是我不敢抱太高的期望，我担心仍是和一群没什么想法的理工男打交道。

新加坡的气候很好，几乎只有上午下过雨——那时候我还在睡觉，下午也没那么热，晚上开空调会冷——难怪这里有很多挂着大吊扇的开放空间。我十分羡慕新加坡的一点在于新加坡是能够在大楼里面种树的——花园城市名副其实。这里实际上碰到华人面孔都可以说中文——即使用蹩脚的Chinglish问，回答也很有可能是中文。新加坡真的很宜居，很想以后时不时来这里旅居。

在这里也趁空闲时间看了一些电影，包括飞机上看的《天堂电影院》、周末看的《卧虎藏龙》、《勇敢的心》、《低俗小说》、回家候机时看的《国产凌凌漆》，还看完了《混沌武士》。回想起来《混沌武士》中的三人和nus项目的小组很像——莫名甚至是非常虚的原因聚在一起，在晴朗的日子走了许多路，在皆大欢喜的结局后各自成长分别。闲时间做的最重要的事把《地频线》的决赛录像的录音提取了出来，做成了专辑自己听。于我，新加坡也有了《地频线》的影子。

我们的课程最终是需要分成小组来做project的模式。我们组基本上是大佬带飞的状态。最开始的时候，我称他们为组员，但是到了最后，我觉得可以称为朋友了——比我预想的好很多，他们目之所及不止眼前的电脑，而是有着对于世界的个人理解。我们一起做project，一起吃饭，一起去市区，一起看电影，一起庆祝一位的生日，甚至一起做了一件疯狂的事——新加坡骑行一圈60公里——骑到东海岸的路不太好骑，常常被红灯阻挠，但是一到东海岸就变得非常顺畅舒适——海边的音乐、椰子树的剪影、海滩黄昏与混杂着咸味和烧烤味的海风让我想起我小时候去普吉岛，也是热带的海滩的日落，海边的果树挂满了青色的芒果。樟宜机场来来往往的飞机从我们头顶飞过，时不时飞过一些为了国庆训练的军机。与其中一位有摩擦，但同样也碰到了只去相投的朋友。感觉在这里我彻底改去了对于电院全是没有想法的nerd的固有印象——其实还是有很多人闪烁着思想的光芒，他们不仅着眼于眼前的技术，也看见技术背后的目的。他们的技术观和世界观、人生观相互支撑，也已经到达相当深入的鲜有人涉足的地方了。其间，我意识到一个有趣的现象：其实有几位我甚至会把他们投射到一些故人上去——气质很像，样貌很像，但是又确确实实不是同一个人。

当然，我也故地重游。我到新加坡的第二天就去了滨海湾。一切如故，但人变了，世界也变了。让我想起《星际牛仔》里Faye见到夕阳下的鱼尾狮，向着家的方向跑去，但是只见断壁颓垣和那一首《Call me Call me》。云雾林和花穹也还是和原来差不多。云雾岭最近好像在和侏罗纪公园合作，可能是为最近的电影做宣发吧。我小时候在花穹的照片作为个人照，在很多地方使用过——荣誉册、精选PPT，我在同样的位置又拍了一张，但是现在那里全都是玫瑰而不是以前的黄橙色的花儿。曾经的我淹没在花丛中，但是现在花丛却是在脚边。到圣淘沙的时候正好夕阳西下，为了看夕阳，并没有去小时去过的亚洲最南端——不知道现在那里是不是还是那些栈道。我往西走，踩着柔软的沙子，看着紫红色的天水交接之处和停泊在岸边的货轮。

算是认真、郑重的画了个句号吧。天色已经完全暗下来，uTown优雅的灯光亮起来了。不知以后是否还有缘再来NUS，至于新加坡，想必以后常会再来吧？

¶1.1 Introduction

How to make computers faster?

• increase clock rate
• increase logic density

¶1.2 Classes of Computers

Computer categories:

• Personal Mobile Device
  • Wireless
  • Energy efficiency important
    • battery
    • no fan
  • Flash memory instead of disks
    • enery efficiency
    • size limit
  • Responsiveness/real-time performance
    • hard real-time
    • soft real-time
• Desktop Computing
  • price
  • performance
    • compute
    • graphic
• Servers
  • availability
  • scalability
  • energy
• Clusters/Warehouse Scale Computers
  • expensive
  • software as a service (SaaS)
• Embedded Computers
  • Application-specific
  • can be 8-, 16-, 32-bit

2 kinds of parallelism:

• data-level parallelism (DLP) > thread-level parallelism (TLP)

  • Instruction-Level parallelism (eg. pipelining)
  • Vector architecture / Graphic Processor Units
  • Multi-core (TLP)
  • Clusters (Request-level parallelism $\in$ TSP)

Flynn's Taxonmy

¶1.3 Defining Computer Architecture

• ISA: Instruction Set Architecture
• Addressing Modes
• Microarchitecture

¶1.4 Trends in Technology

5 critical implememtation techs

• Integrated circuit logic technology
• Semiconductor DRAM
• Semiconductor Flash
• Magnetic disk tecknology
• Network technology

ENIAC(decimal, vacuum tubes)->transisters->Microelectronics

Two Metrics: Bandwidth & Latency (former outpaces latter)

¶1.5 Trends in Power and Energy in ICs

contradiction between power and energy: get power in, get power and heat out

• Thermal design power (TDP)

• Clock rate

• Dynamic power/energy (trans from 0 to 1)--voltage is key

  to reduce:

  • Turn off clock of inactive modules
  • Dynamic voltage-frequency
  • Low power state for DRAM and disks
  • Turn off a few cores

• Static power: leakage current flows

¶1.6 Trends in Cost

IC Cost = (Die Cost + Testing Cost + Packaging Cost)/Finaltest yield

Die Cost = Wafer cost / (Die per Wafer $\times$ Die Yield)

¶1.7 Dependability

MTTF (mean time to failure)

MTTR (mean time to repair)

MTBF (mean time between failures = MTTF+MTTR)

Satisfy Poisson Distribution

If serial, total MTTF = ($\sum$ MTTF$_i^{-1}$)$^{-1}$

¶1.8 Measuring Performance

Benchmark Suit: A collection of benchmark programs

SPEC: Standard Performance Evaluation Corporation

¶1.9 Quantitative Principles

• Take advantage of parallelism

  • Data level parallelism and task level parallelism
  • Pipelining, set-associative caches
  • Multicore, multiprocessor, vector

• Principle of locality

  • reuse recently used data and instructions
  • Temporal locality and spatial locality

• Focus on common use

Amdahl's Law:

• $Execution\ time_{new} = Execution\ time_{old} × (1 - Fraction_{enhanced}) + \dfrac{Fraction_{enhanced}}{ Speedup_{enhanced}}$
• $Speedup_{overall}= \dfrac{Execution\ time_{old}} {Execution\ time_{new}} = \dfrac1 { ((1 - Fraction_{enhanced}) + \dfrac{Fraction_{enhanced}}{ Speedup_{enhanced}}}$

Three factors for processor improvement:

• Clock Cycle
• Cycles per Instruction (CPI)
• Instruction Count (IC)

CPU clock cycles = $\sum$IC~i~$\times$CPI~i~

CPU time = ($\sum$IC~i~$\times$CPI~i~)$\times$Clock cycle time

¶2 ISA

¶MIPS (RISC)

3 instruction formats:

R format

I format

J format

Big endian (MIPS) （高位字节在低地址）vs little endian (8086)（高位字节在高地址）

Big and little endian are for the position of byte in a word

The order of the bits in a byte is fixed, regardless of big or small endian

some examples of MIPS commands

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add $s3, $t0, $t1//$s3=$t0+$t1
lw $t0, 1($s3)//$(s3+1)=$t0
beq $t0, $t1, label//if $t0==$t1, execute label
bne $t0, $t1, label//if $t0!=$t1, execute label
slti $t0, $t1, immediate//if t1 < immediate, t0=1
sltiu $t0, $t1, $t2//if unsigned t1 < unsigned t2, t0=1

if jump is to far, assembler will insert an unconditional jump

¶RISC-V

Open, simple, extendable

¶3 Single-cycle Processor

4 stages:

• IF (instruction fetch)
  • PC+=4 in each cycle
  • for branch
    • A PC Ext (signed) to add immediate to PC
    • A zero flag to determine whether to add immediate to PC
  • for I-type: replace lower 28 bits of PC with the lower 26 bits of the fetched instruction shifted left by 2 bits
• Decode
  • for R-type
    • Generate a RegWr signal for Registers
    • Generate a ALUctr signal for Registers
  • for I-type
    • calculation, like ori
      • Expand immediate from 16 bits to 32 bits (unsigned/zero extension)
      • need a multiplexer, because in R-type write to Rd but in I-type write to Rt
    • memory access, like lw & sw
      • Expand immediate from 16 bits to 32 bits (signed extension)
  • for J-type
    • shift lower 26 bits of the fetched instruction by 2 bits (*4)
• Execute
• Memory
• (Reister write) only lw

Two Layers of Decoding: Main Control & ALU Control

op $\Rightarrow$ other control signals

ALUop, func $\Rightarrow$ ALUctr

¶4 Multi-cycle Processor

硬件中添加5个编译器不能读取的寄存器

• A，B：读出的AB地址的数据
• ALUout：临时存储ALUout的数据
• IR (Instruction Register)：存储指令，有写控制信号——不是每个周期都会写
• MDR （Memory Data Register)：存储内存的数据

• 在IF就执行PC=PC+4是为了利用空闲的ALU
• 在Decode阶段是为所有可能做好准备。读取A，B是为了准备对A，B地址的数据进行操作；计算Branch Destination并存入ALUout是为可能的branch指令做准备。Decode阶段还会准备好Execute阶段对应的控制信号。
• Execute阶段：
  • R：计算正确的计算结果
  • LW/SW：正确的地址覆盖掉ALUout（而不是之前算出来的Branch Destination)
  • Branch：比较A和B输出一个zero control signal，用于控制PCwrite；ALUout准备传输给PC
  • J：Jump Destination给PC
• Memory Access阶段：
  • R：ALUout的值写入R[Rd]
  • SW：把B存入M[ALUout]，其中B是第二个阶段被更新，第三个阶段被同样的数据覆盖（因为IR没变），第四个阶段被用到
  • LW：把M[ALUout]存入MDR
• Writeback阶段：
  • LW：MDR写入Reg[IR[20-16]]

控制信号：

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flowchart TD
    Start([Start]) --> IF[<b>1 InstrFetch</b><br/>IorD=0<br/>MemRead;IRWrite<br/>ALUSrcA=0<br/>ALUSrcB=1<br/>PCSource, ALUOp=00<br/>PCWrite]
IF -->Decode[<b>2 Decode</b><br/>ALUSrcA=0<br/>ALUSrcB=11<br/>ALUOp=00<br/>PCWriteCond=0]

    Decode -->|Op = lw or sw| ExecMem[<b>3 Execute lw/sw</b><br/>ALUSrcA=1<br/>ALUSrcB=10<br/>ALUOp=00<br/>PCWriteCond=0]
    Decode -->|Op = R-type| ExecR[<b>3 Execute R-type</b><br/>ALUSrcA=1<br/>ALUSrcB=00<br/>ALUOp=10<br/>PCWriteCond=0]
    Decode -->|Op = beq| ExecBeq[<b>3 Execute beq</b><br/>ALUSrcA=1<br/>ALUSrcB=00<br/>ALUOp=01<br/>PCSource=01]
    Decode -->|Op = j| Jump[<b>3 Jump</b><br/>PCSource=10<br/>PCWrite]
  
    ExecMem -->|Op = lw| MemRead[<b>4 Memory Access lw</b><br/>MemRead<br/>IorD=1<br/>PCWriteCond=0]
    ExecMem -->|Op = sw| MemWrite[<b>4 Memory Access sw</b><br/>MemWrite<br/>IorD=1<br/>PCWriteCond=0]
  
    MemRead --> WB[<b>5 Write Back lw</b><br/>RegWrite=1<br/>MemtoReg=1]
    MemWrite --> End((End))
    WB --> End
  
    ExecR --> WriteR[<b>4 Memory Access R-type</b><br/>RegDst=1<br/>RegWrite=1<br/>MemtoReg=0<br/>PCWriteCond=0]
    WriteR --> End
  
    ExecBeq --> End
    Jump --> End
    End-->Start

CPI: Cycle per Instruction

¶5 Pipelining

¶5.1 Introduction to Pipelining

Multiple instructions are being executed simultaneously

¶5.2 How Pipelining is Implemented

在Single-cycle processor的基础上修改，分为5个阶段：IF, ID, EX, MEM, WB

在每两个阶段中间，加入超大Register，存储数据和ID阶段产生的Control Signal

Branch是在MEM阶段解决的

¶5.3 Pipeline hazards

• Structure hazard：不同指令在统一时间周期内需要访问同一个硬件资源

  解决方法：

  • 给多个端口访问内存
  • Instruction Memory和Data Memory分离

• Data hazard：前一个指令还没完成对于Data的修改，后一个指令就已经读取了数据，ID阶段就需要检查

  解决方法：

  • Code Scheduling：不改变执行结果的情况下，让两条Data hazards的指令隔得远一点
  • Forwarding/Bypassing：通过硬件，不待数据存回内存，就直接给到下一条指令，但是即便如此，lw后一个需要读寄存器的指令依旧会有Data hazard
  • Stalling：给一条空指令（Bubble）

• Control hazard：Branch影响了Instruction流

  解决方法：

  • 把branch提前到ID之后，减少Bubble从2个变为1个
  • 延迟分支和延迟槽：再增加一个无论都会执行的分支，包含两个延迟槽，填充原来两个bubble的位置
  • 分支预测：预测（猜）下一个进入哪一个分支
    • 静态：总是跳转/不跳转
    • 动态：
      • 1位预测器：根据上一次的结果
      • 2位预测器：00，01，10，11，跳转加1，不跳转减1，只有到00和11的时候，才会改变跳不跳转的状态
      • 全局/局部历史预测
    • prediction correct就继续运行，错误则原来的预测直接flush掉，称为bubble，立即执行正确的

¶5.4 Exceptions

Also-called Interrupt/Fault

situations where the normal execution order of instruction is changed, CPU may abort instructions in the pipeline

The most difficult exceptions have 2 properties:

• occur within instructions
• restartable

to save pipeline state:

• Force a trap instruction into the pipeline on the next IF
• turn off all writes for all the instructions in the pipeline
• After the exception-handling routine in the OS receives control, it immediately saves the PC of the faulting instruction

two kinds of exceptions

• precise exceptions: 编译器知道哪条异常，它之前的执行完，后面的重新执行
• imprecise exceptions：编译器不知道哪条异常

¶5.5 Handling Multicycle Operations

深pipeline

¶6 Instruction-level Parallelism

¶6.1 Concepts and Challenges

trying to minimize CPI

3 kinds of dependences:

• Data Dependences

  指令的结果被另一条指令使用

  • True Dependence: 一条指令产生的结果被后续指令使用
  • Anti-Dependence: 一条指令读取一个寄存器，而后续指令写入该寄存器
  • Output Dependence: 多条指令写入同一个寄存器

• Name Dependences

  两条指令使用相同的寄存器或内存位置，但它们之间并没有真正的数据依赖，可以用寄存器重命名消除

• Control Dependences

  指令的执行依赖于控制流（如分支指令）的结果

Data hazards:

• Read after write RAW
• Write after write WAW
• Write after read WAR

¶6.2 Basic Compiler Techniques

1. Pipelining Stalls

2. Pipelining Scheduling

3. Loop Unrolling

   减少跳转，让一个loop里面执行4个loop的内容

   需要计算好余数

¶6.3 Reducing Branch Costs with Advanced Branch Prediction

Control Speculation——if mis-speculated:

• Recovery Mechanism
• Squash instructions on the incorrect path

Branch Prediction: Dynamic & Static: 见5.3Control hazards部分

¶6.4 Overcoming Data Hazards with Dynamic Scheduling

The ID stage is divided into two parts

• checking for any structural hazard
• waiting for the absence of a data hazard

为了进一步提高运行效率，重排指令执行顺序，减少data hazards，可以按序发射，乱序执行(in-order issue, out-of-order execution)

1. list all WAR and WAW hazards

2. dynamic scheduling

   • Advantages:

     • Compiler doesn't need to have knowledge of microarchitecture
     • Handle cases where dependencies are still unknown

   • Disadvantages:

     • More complex hardware
     • Complicates execptions

¶7 Memory Hierarchy Design

¶7.1 Cache Organization

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flowchart TD
Regfile---ITLB
Regfile---DTLB
ITLB---InstrCache
DTLB---DataCache
InstrCache---SRAM["Second Level Cache (SRAM)"]
DataCache---SRAM
SRAM---DRAM["Main Memory (DRAM)"]
DRAM---Disk["Secondary Memory (Disk)"]

Principle of Locality: Programs tend to reuse data and instructions near those they have used recently, or those were recently referenced themselves.

• Temporal locality: Recently referenced items are likely to be referenced in the near future.
• Spatial locality: Items with nearby addresses tend to be referenced close together in time.

一个block的结构：

Bits per row = Data Bits (Block Size in bits) +Tag Bits+Valid Bit

Cache大小的计算：如果一个32位block是22位tag，8位index，2位block offset，又是一个4-way cache，则：

• set的数量：2^8
• 每个set中block的数量：4=2^2
• 每个block中Byte的数量：2^2

所以总大小：2^8^$\times$2^2^$\times$2^2^B=2^12^B=4KB

如果出现Miss的情况，需要替换掉一个block，LRU/FIFO/Random

Write strategy：

• write through：每次都写进cache和memory
• write back：每次写进cache，只有在替换block的时候写进memory

Handling

• Cache Hits
  • Read hits: Just read it !
  • Write hits
    • require the cache and memory to be consistent
      • write through
      • slow
      • can use a write buffer or stall when write buffer is full
    • allow cache and memory to be inconsistent
      • write back
      • need dirty bit to tell whether or not required to write back to memory
      • can use a write buffer when writing back
• Cache Misses
  • Read Misses: block size增加，miss penalty也增加；miss一个word要从memory获得一整个block
    • 一收到block中的word，不等block完全上传完就执行
    • 需要的word先传，再传block剩下的部分
    • 非阻塞式cache：处理器在cache在处理先前miss的时候还可以继续获取cache中的内容
  • Write Misses: 先把block加载到cache，再写

CPU Time = (CPU Execution Clock Cycles + Memory Stall Clock Cycles) $\times$ Cycle Time

因此cache行为对CPU time影响很大

¶7.2 Virtual Memory

Virtual page number + page offset -> physical page number + page offset

因为实际上是在page table里面的physical page里查找哪一个page number和请求的(virtual) page number一致，所以很费时间（查找）

使用TLB来解决这个问题（这一部分仅仅是用来找数据所在的地址，不找数据本身，找数据本身见7.1）

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flowchart TD
VPN[Virtual Page #]-->|TLB hit|TLB[TLB]
VPN-->|TLB miss|PTR["Page Table<br>(Stored in physical memory)"]
TLB-->Data["Data<br>in cache, memory or storage"]
PTR-->Data
VPN-->|TLB miss and page fault|Data

TLB, Page Table查到的地址对应的数据可能存在cache，memory，storage里面

¶7.3 Six Basic Cache Optimizations

Average Memory Access Time = Hit Time + Miss Rate $\times$ Miss Penalty

1. Reducing the miss rate

   Larger block size, larger cache size, higher associativity

2. Reducing the miss penalty

   Multilevel caches, giving reads priority over writes

3. Reducing the time to hit in the cache

   Avoiding address translation when indexing the cache

Three Categories of Misses

• Compulsory

  The very first access to a block cannot be in the cache

• Capacity

  If the cache cannot contain all the blocks needed during execution of a program, capacity misses occur

• Conflict

  In case of set associative and direct mapped, conflict misses occur. Different blocks mapped onto the same place

Six Basic Cache Optimizations

• Higher associativity

  more potential place to store data, thus reducing conflict misses

• Giving priority to read misses over writes

  Usually has a write buffer, so write can wait

• Avoid address translations

  让cache直接使用虚拟地址访问，省去翻译的步骤，但是也有问题：

  • 不同正在运行的进程的虚拟地址相互干扰
  • 进程切换的时候，需要flush cache
  • 不同的虚拟地址可能映射到同一个物理地址（alias/synonym），写数据的时候可能导致数据不同步

  因此，折中一下，使用VIPT：Virtually Indexed, Physically Tagged

  要求：一页只能映射到一个Cache Set

  例如一个4-way的cache

  1. 利用虚拟地址的低位部分（页内偏移），它包含了 cache 的 set index 和 block offset，所以可以立刻查 cache 的某一个set，把里面所有4个block的tag 提取出来
  2. 用VPN查找到了PPN，获得了物理地址的tag
  3. 对比两个tag，判断是否命中，命中就返回，未命中就Cache Miss，进一步访问memory

  Limits: Cache Size = page size $\times$ associativity

  Virtual Page Number	Page offset
  Tag (Physical Page Number)	Index	Block offset

cache size = number of sets $\times$ associativity (number of block in a set) $\times$ block size = 2^index^ ^bits^$\times$ N $\times$ 2^byte^ ^offset^ ^bits^

minimum page size = cache size $\div$ associativity = number of sets$\times$ block size = 2^index^ ^bits^ $\times$ 2^byte^ ^offset^ ^bits^

¶7.4 Ten Advanced Optimizations of Cache Performance

1. Small and simple first level caches

2. Way Prediction

3. Pipelining Cache

4. Nonblocking Caches (allow hits before previous misses complete)

5. Multibanked Caches (support simultaneous access)

6. Critical Word First, Early Restart

   • critical word first: 先去请求关键字给CPU
   • early restart: 按顺序请求，一到关键字就不等读完立即给CPU

7. Merging Write buffer: 如果要写入的字已经在write buffer里面了，直接更新write buffer

8. Compiler Optimizations: 例如矩阵的读取，从左右上下变为上下左右

9. Hardware Prefetching: utilizing memory bandwidth that otherwise would be unused

10. Compiler Prefetching: Insert prefetch instructions before data is needed (register/cache)

¶7.5 Memory Technology and Optimizations

performance merits: Latency & Bandwidth

SRAM (mainly for cache) complex, costly

DRAM (mainly for memory) simple, cheaper than SRAM

Flash Memory: type of EEPROM

new trends: NVM(Non-Volatile Memory)

¶8 Data-Level Parallelism

¶8.1 Introduction

见1.2最后Flynn’s Classification

SISD，MISD(x)，SIMD，MIMD

SIMD advantages:

• exploit data-level parallelism
• more energy efficient
• more comfortable for programmers

¶8.2 Vector Architecture

basic idea:

• Read sets of data elements into “vector registers”
• Operate on those registers
• Disperse the results back into memory

Architecture: VMIPS

• vector registers
  • containing 64 elements, each elements have 64 bits
  • 16 read ports and 8 write ports (read/write an element at a time)
• Vector functional units
  • Fully pipelined
  • Data and control hazards are detected
• Vector load-store unit
  • Fully pipeline
  • One word per clock cycle after initial latency
• Scalar registers
  • 32 general-purpose registers
  • 32 floating-point registers

for vector arithmetic execution

• use deeper pipeline
• simplify control pf deep pipeline because elements in vector are independent and thus no hazards

Execution time of a sequence of vector operations

depends on three factors:

• Length of operand vectors
• Structural hazards
• Data dependencies

Use Vector Length Register (VLR) to control

the length of any vector operation, including a

vector load and store

Vector Mask Registers：选择哪些bit参与运算

most vector processors use memory banks to allow multiple independent accesses

¶8.3 SIMD Instruction Set Extension

折中一下，Vector Architecture又贵又难造

用SIMD指令在普通结构的机器上达到近似Vector Machine 的效果

很多指令加上类似“.4D”，表示一次处理4个double类型的数据

¶8.4 GPU (Graphic Processing Unit)

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flowchart TD
VG[Vertex Generation]-->VP[Vertex Processing]
VP-->PG[Primitive Generation]
PG-->PP[Primitive Processing]
PP-->FG[Fragment Generation]
FG-->FP[Fragment Processing]
FP-->PO[Pixel Operations]

CUDA （Compute Unified Device Architecture）
highly parallel

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          Grid
┌─────────────────────────────┐
│    Block 0      Block 1     │ ← 一整个 Grid 中有多个 Block
│  ┌──────────┐  ┌──────────┐ │
│  │ Thread x │  │ Thread x │ │ ← 每个 Block 有多个 Thread
│  │ Thread y │  │ Thread y │ │
│  └──────────┘  └──────────┘ │
└─────────────────────────────┘

1个函数就是1个kernel，对应1个grid，grid之下有多个block，block之中有多个thread

block之间数据不共享，thread之间数据共享

block是调度单位，thread是运算单位，一般性一个block内最多1024个thread

例如：

一个函数，要把8192位数据取反，实际上这个函数就是一个kernel，对应到了一个grid，grid里可以分成8个block，每一个SM拿一个block去运行，每个SM（Streaming Multiprocessor）内部则是1024个线程同时运行

这里的R指的是对于kernel来说R，可以通过CPU通过CUDA-API写入

每个kernel支持1，2，3维，可以选择启用几个维度

warp: SM指挥warp，一个warp一次可以执行32个线程。warp之内的线程是并行的，warp之间的运作类似round robin

¶1.1 Sets, relations and functions

• 计算：$A\cup B, A\cap B,A-B,\bar A, A\oplus B$
  • “-”例子：${1,3,5}-{1,2,3}={5}$
  • “$\oplus$”对称差：类似于异或，$A\oplus B=(A-B)\cup(B-A)$，$A\oplus B\oplus C = \sum(A-B-C)+A\cap B\cap C$
• 幂集 Power Set $P(S)={s|s\subseteq S}$
• 笛卡尔积 Cartesian Product: $A\times B={<x,y>|x\in A\wedge y\in B}$，是有序对！
• 关系是有序对的集合，有三种可能的性质
  • 反身性 Reflexive，if $(\forall a\in x)(aRa) $
  • 对称性 Symmetric，if$( \forall a,b\in x)(aRb\rightarrow bRa)$
  • 传递性 Transitive，if $(\forall a,b,c\in x)[(aRb\wedge bRa)\rightarrow aRc]$
• 划分 Partition：$\pi$的一个划分是一个集合的集合$A$，$A$中的集合两两没有共同元素，$\pi$中所有元素可以在$A$的元素中找到
• 等价类 Equivalence class
  • 等价关系：满足自反性、对称性、传递性
  • 商集$A/R$把$A$根据关系$R$分类（事实上，R必须是等价关系）
  • 等价类就是关于某一个等价关系$R$做商集运算
  • 例：模6同余的等价关系
• 函数 Function
  • 单射 injective: $x\ne y\rightarrow F(x)\ne F(y)$
  • 满射 surjective: $ran\ F=B$
  • 一一映射/双射 bijective function: 单射且满射

¶1.2 Paradox & Cardinality

• 理发师悖论$\rightarrow$罗素提出没有一个包含所有集合的集合

• 集合大小相等（等势）：集合之间存在一一映射关系

  • $\omega\times\omega\approx\omega$，$\omega$为最小的无限序数（自然数集）

  • $\omega\approx \mathbb Q$

  • $(0,1)\approx \R=(n,m)=(0,1]=[0,1)=[0,1]$

    • proof for [0,1]=[0,1):

      $f(x)=\begin{cases}x&0\leq x<1\wedge x\ne\dfrac1{2^n}\\dfrac1{2^{n+1}}&x=\dfrac1{2^n}\end{cases}$

  • 没有集合和自己的幂集等势

• 无限集合大小的比较

  • $A\preccurlyeq B\iff A与B的一个子集等势$
  • $A\preccurlyeq B\wedge B\preccurlyeq A\Rightarrow A\approx B$
  • $2^{\alef_0}\leq\alef_0\cdot2^{\alef_0}\leq2^{\alef_0}\cdot2^{\alef_0}=2^{\alef_0}\ \therefore2^{\alef_0}\approx\alef_0\cdot2^{\alef_0}$

• 可数集：有限或者与自然数集等势

  • 可数集的子集、并集、笛卡尔积都是可数集

¶1.3 Orderings 序

• 偏序：偏序集

  $$
  (S,R)
  $$

  : $R$是集合$S$上的偏序关系

• 线性序：任意两个元素均可作比较

• 立即前元：直接的更小的元素，$x$是$y$的直接前元，$x\triangleleft y$

  • $x\prec y$
  • $\neg(\exists z\in S)(x\prec z\prec y)$

• 极大元、极小元、最大元、最小元

• 有限偏序必含极小（大）元

• 线性扩充定理：对有限偏序集$（S,\preccurlyeq)$，存在线性序集$(S,\preccurlyeq')满足x\preccurlyeq y\to x\preccurlyeq'y$

  一般地，线性扩充不唯一（类似对于哈斯图作拓扑排序）

¶1.4 Wide or Tall - Mirsky's theorem and Dilworth's theorem

• 链（可比较元素的集合，高）：$\forall x,y\in A, x\preccurlyeq y或者y\preccurlyeq x$，特别地，$\omega(P)=max{|A|:A是P上的链}$

• 反链（不可比较元素的集合，宽）：$\forall x\ne y\in A,x\cancel\preccurlyeq y$,也称独立集，特别地，$\alpha(P)=max{|A|:A是P上的反链（独立集）}$

• Mirsky's theorem定理：最长链长度=最小反链划分数

  推论：$对于P=(S,\preccurlyeq),\alpha(P)\cdot\omega(P)\geq |S|$

  应用：

  Erdös-Szekeres引理：任意含有$n^2+1$个元素的实数序列$（x_1,\cdots,x_{n^2+1})z$中都含有一个长度为$n+1$的单调子序列

• Dilworth定理：最长反链长度=最小链划分
  $P为有限集，min{m:\exists\ chains C_1,C_2,\cdots,\ C_m\ with P = \bigcup\limits_{i=1}^m C_i}=max{|A|:A\ is\ an\ anti-chain}$

¶2 Combinatorics

¶2.1 Combinatorial Counting

• $(m)_n=\dfrac{m!}{(m-n)!}$

• $\binom nk=\dfrac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$

• $\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}k=\binom nk$

  • $\sum\limits_{k=0}^n\binom km=\binom{n+1}{m+1}$
  • $\sum\limits_{k=0}^n\binom{m+k-1}k=\binom{n+m}n$
  • $\sum\limits_{i=0}^n\binom ni^2=\sum\limits_{i=0}^n\binom ni\binom n{n-i}=\binom{2n}n$
  • $\binom{m+n}r=\sum\limits_{k=0}^r\binom mk\binom n{r-k}$
  • $\binom{n_1+\cdots+n_p}m=\sum\limits_{k_1+\cdots+k_p}\prod\limits_{i=1}^p\binom{n_i}{k_i}$

• Binomial theorem:

  $(1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom nkx^k$

  $if\ \left |x\right |>\left | y\right |,\ (x+y)^r=\sum\limits_{k=0}^\infty\binom rk x^{r-k}y^k$

• second Stirling Numbers

  • The number of ways to partition a set of $n$ things into $k$ nonempty subsets
  • ${\begin{smallmatrix}n\k\end{smallmatrix}}=k{\begin{smallmatrix}n-1\k\end{smallmatrix}}+{\begin{smallmatrix}n-1\k-1\end{smallmatrix}}$，specifically, ${\begin{smallmatrix}n\2\end{smallmatrix}}=2^{n-1}-1$

• Stirling cycle numbers (first Stirling Numbers)

  • The number of ways to partition a set of $n$ things into $k$ nonempty cycles
  • $[\begin{smallmatrix}n\k\end{smallmatrix}]\geq {\begin{smallmatrix}n\k\end{smallmatrix}}$
  • $[\begin{smallmatrix}n\1\end{smallmatrix}]=(n-1)!$
  • $\sum\limits_{k=0}^n[\begin{smallmatrix}n\k\end{smallmatrix}]=n!$
  • $[\begin{smallmatrix}n\k\end{smallmatrix}]=(n-1)\cdot[\begin{smallmatrix}n-1\k\end{smallmatrix}]+[\begin{smallmatrix}n-1\k-1\end{smallmatrix}]$

• Partition of a number

  • number of partition the positive integer $n$ into $k$ parts
  • $P_k(n)=P_{k-1}(n-1)+P_k(n-k)$
  • $\sum\limits_{k=1}^m P_k(n)=P_m(n+m)$

¶2.2 Inclusion-exclusion principle and its application

$$\left|\bigcup\limits_{i=1}^nA_i\right|=\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum\limits_{I\in C({1,2,\cdots,n},k)}\left |\bigcap\limits_{i\in I}A_i\right|$$

$$=\sum\limits_{\emptyset\neq I\subseteq{1,2,\cdots,n}}(-1)^{\left | I \right |-1}\left|\bigcap\limits_{i\in I}A_i\right|$$

错排公式：没有一个在原来的位置上
$D(n)=n!-\left | A_1\cup\cdots\cup A_n\right |=n!\left (\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {(-1)^k}{k!}\right )$

欧拉函数：不超过$n$且与$n$互素的自然数的个数

$\varphi(n)=n\prod\limits_{p_i为n的质因数}\left(1-\dfrac 1p_i\right)$

¶2.3 Generating function

Catalan Number

$C_n=\dfrac1{n+1}\binom{2n}n$

¶2.4 Recurrence relations

注意首项要带入验算

¶2.5 Polya's Theory of Counting

1. Orbits: $if\ x\in X\ then\ O_x={y\in X:\exists g \in G \ such\ that\ g*x=y}$
2. **Stabilizer: **$S_x={g:g*x=x}$
3. **Lemma1: **$The\ orbits\ partition\ X$
4. **Lemma2: **$x\in X\ then\left|O_x\right|\left|S_x\right |=\left | G\right|$
5. Theorem 1: $\nu_{X,G}=\dfrac1{\left |G\right |}\sum\limits_{x\in X}\left| S_x\right |,\nu_{X,G}\ denote\ number\ of\ orbits$
6. Theorem 2: $\nu_{X,G}=\dfrac1{\left |G\right |}\sum\limits_{g\in G}\left| Fix\left( g\right )\right |,\ for\ g\in G\ let\ Fix(g)={x\in X:g*x=x}$

本质上：两种数法

1. 固定颜色的排列，看看它的permutation有几种
2. 固定operator，看看不变的颜色（stablizer）有几种

¶2.6 估值

1. 调和级数估值：$\dfrac12\lfloor\log_2n\rfloor<\sum\limits_{i=1}^n\dfrac1i=H_n<\log_2n+1,\ \therefore H_n=\Theta(\ln n)$

2. 阶乘估值（大小为$n$的集合$X$，其上的置换一共有$n!$个）

   1. 极值点估值：$2^n<\left(\dfrac n2\right)^\dfrac n2<\prod\limits_{i=n/2}^n\dfrac n2=n!<n^n$
   2. 高斯估值（均值不等式）:$n^{\frac n2}=\prod\limits_{i=1}^n\sqrt n\leq\prod\limits_{i=1}^n\sqrt{i(n+1-i)}=\left (\sqrt{\prod\limits_{i=1}^n i(n+1-i)}=\sqrt{n!\cdot n!}=n!\right )\leq\prod\limits_{i=1}^n\dfrac{n+1}2=\left(\dfrac{n+1}2\right)^n$
   3. 进一步优化，使用$1+x≤e^x$与归纳，得到$e\left(\dfrac ne\right)^n\leq n\leq en\left(\dfrac ne\right)^n$

   事实上，Stirling公式：$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\sqrt{2\pi n}(\frac ne)^n}{n!}=1$

3. 二项式系数估值：$\left (\dfrac nk\right)^k\leq\binom nk\leq\sum\limits_{i=0}^k\binom ni\leq(\dfrac{en}k)^k$，右边的证明利用二项式定理+赋值$x=\dfrac kn$

¶3 Graph theory 图论

¶3.1 Basic notions and hand shaking lemma

1. 图的最小度$\delta(G)$，最大度$\Delta G$

2. 子图：边集和点集都是子集

   1. 导出子图（induced subgraph）：子图中的点集在原图中的边，都是子图的边
   2. 生成子图 （spanning subgraph）：子图和原图的点集相等

3. 特殊图

   1. 路径图（Path P~n~)：$V={0,1,\cdots,n}$

   $E={(i-1,i):i=1,2,\cdots,n}$
   2. 环（Circle C~n~）：$V={0,1,\cdots,n}$

   $E={(i,i+1):i=1,2,\cdots,n-1}\cup{(1,n)}$
   3. 二分图（Bipartite graph B~n,m~）：$V={u_1,\cdots,u_n}\cup{v_1,\cdots,v_m}$

   $E\subseteq{(u_i,v_j):i=1,2,\cdots,n;\ j=1,2,\cdots,m}$

   其中$\subseteq$取等号时，为完全二分图（Complete Bipartite graph K~n,m~）
   4. 完全图：（Complete graph K~n~）
   5. r-正则图（r-regular graph）：所有顶点度数都是常值r的图
   6. 简单图（Simple Graph）：没有自环（Loop）、重边（Multiedge）
   7. $\begin{cases}路径(Path)：不允许环，各顶点和边各出现一次\游走(Walk)：允许环，顶点和边可以重复\end{cases}$
   8. 连通图：任两点存在路径
   9. 极大连通子图：子图；连通图；极大
   10. 树；无环连通图

4. 握手定理：$\sum\limits_{v\in V}deg_G(v)=2\left | E\right|$奇点有偶数个

¶3.2 Graph isomorphism and graph score

1. 有$n$个顶点且不同构的图有$x$个，则$\dfrac{2^\binom n2}{n!}\leq x\leq2^\binom n2$，所以$x=2^{\Theta(\frac{n^2}2)}$

2. Graph score: the degree sequence of G

   Isomorphic graphs $\Rightarrow$ The same scores

   The same scores $\nRightarrow$ Isomorphic graphs

3. Score Theroem：去掉度数最高的点，前最高点数的点度数减一，可以画图性不变

   $D=(d_1,d_2,\cdots,d_n)，d_1\leq d_2\leq\cdots\leq d_n$

   $d'=\begin{cases}d_i&i<n-d_n\d_i-1&i\geq n-d_n\end{cases}$

   $D与D'可画图性一致$

¶3.3 Applications of handshake lemma: Parity argument

1. Sperner's Lemma：对任意𝑛维单形体(𝑛-simplex)进行分割并用𝑛 + 1种颜色去着色，则任何合适的单形体分割着色方案下，都必有一个包含所有不同颜色的单元。
2. 对于3-正则图，包含图上任意边$e$的哈密顿回路必有偶数条

¶3.5 Isomorphism of trees

1. 叶子：度数为1的顶点

2. 树生长定义：对于图$G$的叶子节点$v$，图$G$是树$\Leftrightarrow$图$G-v$是树

3. 树的等价刻画：

   1. 图$G$是树。
   2. 路径唯一：对任意两点 $ u, v \in V$，存在从$u$到$v$的唯一路径。
   3. 最小连通图：$G$是连通图，且去掉任意一条边后都成为非连通图。
   4. 最大无环图：$G$不含环，但增加任何一条边所得到的图$G + e $（其中$e \in \binom{V}{2} \setminus E $）中含有一个环。
   5. Euler 方程：$ G $ 是连通图，且 $ |V| = |E| + 1 $。

4. 证明顶点数为$n$的不同构树有$n^{n-2}$

   1. Score硬算，化简得到

   2. 骨骼标本与V上的函数图一一对应，每棵树对应n~2~个骨骼标本$\dfrac {n^n}{n^2}=n^{n-2}$

   3. Prüfer code（逐个记录目前编号最小的叶子的祖先节点）与树一一对应$n^{n-2}$

   4. Determinants：G的拉普拉斯矩阵：$a_{ij}=\begin{cases}-1&{i,j}\in E(G)\deg_G(i)&i=j\0&otherwise\end{cases}$

      $T(G)=T(G-e)+T(G:e)=\det Q_{11}'+\det Q_{11}''=\det Q_{11}$

¶3.4 The number of spanning trees

1. 树同构

   1. 有根树同构$\cong'$，编码（非根叶节点01，每个个节点的编码都是0+所有子树编码+1）后字典序排序即可
   2. 无根树同构$\cong$
      1. 一些概念
         1. 两点距离：最短路径长度$dis_G(u,v)$
         2. 一点偏心率：该点与其他点最大距离$ex_G(v)$
         3. 中心：偏心率最小的顶点集合$C(G)$，对于树而言，该集合大小为1或者2
      2. 解法
         1. 找到中心
         2. 中心集合大小为1，其为根，转化为有根树
         3. 中心集合大小为2，去掉中心两点的连线，转化为两棵有根树

¶4 概率论 The probabilistic method

¶4.1 Probability: a quick review

1. $P(E|F)=\dfrac{P(E\cap F)}{P(F)}$，若独立，则$P(E|F)=P(E)$

2. 全概率公式 Law of total probability: $P(B)=\sum P(B|E_i)P(E_i)$

3. 条件独立 Conditionally Independent: $P(A\cap B|C)=P(A|C)\cdot P(B|C)$

4. 贝叶斯定理 Bayes Rules: $P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}=\dfrac{P(A|B)P(B)}{P(A)}$

5. $E(X)+E(Y)=E(X+Y)$

   $D(X)(Var(X))=E((X-E[X])^2)=E[X^2]-E[X]^2$

   分布	分布律或概率密度	期望	方差
   0-1分布$B(1,p)$	$P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k},\quad k=0,1,\quad 0<p<1$	$p$	$p(1−p)$
   二项分布$B(n,p)$	$P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,2,...,n,\quad 0<p<1 $	$np$	$np(1−p)$
   泊松分布$P(\lambda)$	$P(X=k)=\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-λ},\quad \quad k=0,1,2,...,\quad λ>0$	$\lambda$	$\lambda$
   几何分布$G(p)$	$P(X=k)=p(1-p)^{k-1}, k=1, 2, \cdots, 0<p<1$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^{2}}$
   指数分布$E(\lambda)$	$f(x)=\left {\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x}, &x>0\ 0, \end{matrix} \right.$其他	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^{2}}$
   正态分布$N(\mu, \sigma^{2})$	$f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}, -\infty <x<+\infty, -\infty <\mu <+\infty, \sigma >0$	$\mu$	$\sigma^{2}$

6. 概率的估算

   1. Markov's Inequality: $X$ is a random variable that assumes only non-negtive values, $P(X\geq a)\leq\dfrac{E[X]}a$
   2. Chebyshev's Inequality: $P(\left|X-E[X]\right|\geq a)\leq\dfrac{Var[X]}{a^2}$
   3. 变形：$P(X\geq a)=P_{min}(e^{tX}\geq e^{ta})\leq \min\limits_{t>0}\dfrac{E(e^{tX})}{e^{t\cdot a}}$
   4. Union bound：并集不等式

¶4.2 Probabilistic method

1. Ramsey number

   if $\binom nk2^{-\binom nk+1}<1$, then it is possible to color the edges of $K_n$ with two colors so that it has no single-colored $K_k$ subgraphs

2. Any system consisting of fewer than $2^{k-1}$ sets of size k admits a 2-coloring

3. Theorem. Let $G$ be a graph with an even number, $2n$, of vertices and with $m > 0$ edges. Then the set $V = V(G)$ can be divided into two disjoint $n$-element subsets $A$ and $B$ in such a way that more than $\frac{m}{2}$ edges go between $A$ and $B$.

   To find the solution, sampling and testing is efficient.

4. Theorem [Lovasz Local Lemma]:
   Let

   $$
   E_1, E_2, \cdots, En
   $$

   be a set of events, and assume that the following holds:

   1. For all

      $$
      i$$,
      $$

      Pr(E_i) \le p$$;

   2. The degree of the dependency graph given by

      $$
      E_1, E_2, \cdots, E_n
      $$

      is bounded by $d$；

   3. $$
      4dp \le 1$$.
      $$

   Then

   $$
   Pr\left(\bigcap_{i=1}^n \overline{Ei}\right) > 0
   $$

   .

¶5 Random Graphs

1. $G(n,p)$ model：$\left|V\right|=n,P({u,v}\in E)=p$

   存在k-独立集的概率最大为$P(\alpha(G)\geq k)\leq\binom nk(1-p)^\binom nk$

   存在k-团集的概率最大为$P(\omega(G)\geq k)\leq\binom nkp^\binom nk$

2. 对于任何一个increasing property的概率$P$，$n\to\infty$时，$P\to0$或者$P\to1$

   具体趋于可能收到$p$影响，边界点称为threshold

3. 可以用马尔科夫不等式/切比雪夫不等式来推导

¶6 Introduction to data science

¶6.1 High-dimensional space

1. 任意两个高维向量是近似正交的
2. 单位立方体的顶点在单位球外
3. 几乎所有的点都在赤道（不论哪个点为北极点）
4. 体积随着维度增加而趋于0
5. 变长为2的立方体内撒点，几乎全在内接球外面
6. 高维高斯分布：体积最多的地方不在零点，在一个半径为$\sqrt d$的环上
7. 找最近的两个向量->矩阵降维->用球状高斯分布生成k个向量，再把原来的向量投影上去，距离相对关系大概率是不变的

¶6.2 Best-fit subspaces and Singular Value Decomposition

¶6.2.1 SVD 特征值压缩

方阵 EVD：通过特征值和特征矩阵，把原矩阵变成$\mathbf{S}=U\boldsymbol\Lambda U^{-1}$，

普通矩阵 SVD：$A=\underbrace{U}{m\times m}\underbrace{\Sigma}{m\times n} \underbrace{V^T}_{n\times n}$

$U$的列是$AA^T$的特征向量，$V$的列是$A^TA$的特征向量，$\Sigma$对角是特征值，其余为0

为了压缩矩阵，可以把最小的特征值置零

¶6.2.2 投影压缩

和线形回归类似，目标是让原数据和新数据的协方差尽可能小，但是实现上可以用SVD

1. 中心化数据：将每个特征减去其均值，使数据均值为零
2. 计算协方差矩阵
3. 特征值分解
4. 选择主成分
5. 投影数据

¶6.3 Introduction to Markov Chain Monte Carlo

• Persistent state (recurrence): If the state ever be reached, the random process will return to it with probability 1.

• Markov Chain Monte Carlo: $E(f)=\sum\limits_xf(x)\cdot p(x)$

• Metropolis-Hastings Algorithm: 构造指定stationary distribution的Markov Chain

  $\begin{cases}p_{ij}=\dfrac 1r\min\left (1,\dfrac {p_j}{p_i}\right )\p_{ii}=1-\sum\limits_{i\ne j}p_{ij}\end{cases}$

这部电影给我的感觉是：有真实的复杂性：其对于桎梏的描述有两重性。

电影中对于桎梏的展示是非常具有层次性：由宏观到微观，由背景到具体的事情：

最开始展现出来的Nasreen的家庭，无疑是美满的——与丈夫、孩子非常幸福地生活。伊朗这个国家看上去和世俗国家也别无二异：唱歌的母亲，看球的父子，拿着xbox手柄的儿子，iPhone，google。

第一层桎梏是国家、社会带来的，在电影开头就提到：女性不能在公开场合唱歌。警车在旁边时感受到的不是安全，而是警觉：停止唱歌，戴上头纱，小心摄像机。纹身师说：“我给xxx（那个女歌手，忘记名字了）纹过身，她戴着头巾唱歌，谷歌上都查不到她的脸，女性在国内唱歌有限制。”摄影师应：“女性在国内有很多限制。”纹身师问：“纹这个真的值得这么痛嘛？”Nasreen在手指上纹上了women。

第二层桎梏是丈夫：开始时的幸福，后面才知道这只不过是一个不具体的表象，一旦到具体的生活，这就是一段不幸福的婚姻。太经典了：晚归的丈夫、不爱的丈夫、自私的丈夫。甚至其实两人一开始在一起都是因为家庭内部的催婚压力，甚至抚养小孩对于丈夫的付出小于儿子的付出。

第三层桎梏是原生家庭：母亲一直支持Nasreen，Nasreen也一直认为父亲在的话会支持自己唱歌，会保护自己免于丈夫的冷暴力。但是母亲还是传统的，父亲的支持最终还是父权赋予的权利，而不是个人独立带来的力量，当初Nasreen结婚都是半处于家庭给到的压力。

但是这部电影的对于整个事件的刻画是具体的，不是一昧地否定。母亲最终也还是尊重女儿离婚的意愿，并且为了帮女儿承担压力而陪同女儿一起去离婚，原生家庭是桎梏，但也是支撑。和前夫也算是离婚离得干净，获得抚养权、抚养费，Nasreen在法律的支持下也获得了应有的保障。

离婚之后Nasreen走出家门，不为家庭所累（当然也是因为母亲的支持和子女的成长），找到了一份支持自己的职业（伊朗的女性生存状况，至少没有差到一个女人养不活自己，完全依附于一个男人）。其实这在某种程度上，回答了“娜拉出走之后，然后呢”的问题。

影片的结尾还是秉有对未来的希望：伊朗知名女歌手牵头，希望改变伊朗对于女性的偏见与歧视。Nasreen的母亲生日，许下了伊朗和平的宏大愿望。儿子Hamid说，乌龟会把头抬出水面呼吸——下一代会好吗？Hamid支持母亲唱歌，未来的伊朗，会支持女性平等的地位吗？

说来好笑，正是因为复习量子物理到深夜，我才得以观看2025WWDC的直播。这是我第一次看WWDC的直播，第二次看苹果发布会的直播（上一次是“scary fast”)。对于这次WWDC，我觉得还算是满意吧，虽然没怎么回答我想问的问题，但是至少还算是给了一份答卷。

¶Apple Intelligence——失望与期望

2024年的苹果发布会，画了一张巨大的大饼——Apple Intelligence。这是苹果近年来唯一的一次食言，起了个大早，赶了个晚集。去年刚发布的时候，这看上去又是“Only Apple can do”，提出了既能保护用户隐私又能帮助用户的人工智能的结构概念，都以为是又一次苹果为一片混沌的新领域证明正确的发展和应用的方向，但结果却是一场惨痛的滑铁卢，甚至让苹果背上“虚假宣传”的骂名。

目前为止，我听到的消息来自林亦LYi，认为他讲得还是较为详细有理。简言之苹果机器学习的高管John Giannandrea面对ChatGPT的横空出世不作为，没有跟上AI发展的浪潮，但又做足了面子工程，画了很多饼，目前机器学习相关团队被重组给了帅气迷人幽默的Craig Federighi（主管软件工程）和Mike Rockwell（Vision Pro总负责）。这两人由于John的不作为积怨已久，且专业能力管理能力均较强，我本以为今年可能就已经会有很大的改观，但是事实上并没有这么快。希望WWDC2026上苹果给出一份满意的答卷！

Apple Intelligence落后了吗？落后了！但是，我认同，现在也没有落后很多。因为其他厂商对于AI功能加入系统的方式仍然是一片混沌，并没有找到一种深刻影响工作效率的方法。而且仍然有许多亟待解决的伦理问题——例如荣耀MagicOS的“一句话点外卖”功能，是基于AI对于屏幕内容的识别，一方面这是对于隐私的侵犯；另一方面误操作的成本谁来负担，这都是目前没有伦理共识。所以，其实在这个时候各个厂商都有点踟蹰不前，因为有点没有前进的空间。但是苹果提出要端侧模型和云端模型并重，提出了一个合理的结构，规避了这个伦理问题，所以其实苹果是由前进空间，只是在科技方面有点落后了。诚然如此，但是苹果其实依然没有为伦理的讨论做出贡献，苹果只是规避了这个问题，纳入旧伦理的体系中去解决这个问题。

我比较感兴趣的Apple intelligence的理念反而是在WatchOS的部分提到的，里面提到一个关键词**“主动性”**，我认为这其实一针见血地指出了AI应用发展的一个重要方向。希望不要沦落到概念先行，从未落地的田地。

¶Liquid Glass——松了一口气

UI更新是本次发布会又一次比较重要的内容。本来听过太多rumor，见过太多丑丑的渲染图，祈祷过无数次不会改不要乱改，不要为了改而改。最终给出的答卷还算满意。最终听到的消息是要统一为Vision Pro的视觉语言，之后就被曲解为圆形图标——我为此担心了很久，直至被这个来自谐门东西的视频说服。简言之，圆形图标只有Vision Pro和Apple Watch的“无限平面”的设计语言才会出现，且为蜂窝状排列，不仅如此，Vision pro里的iPad兼容app还需要通过图标的方圆来区分。因此不可能改为圆形图标，一切只是以讹传讹。

最终的设计，我认为还是维持了苹果的审美的——甚至加入了透明app图标，这多像是概念版的iOS啊！（但是其实我不喜透明图标，因为丧失了颜色对于视觉的传达。）新的UI最被人诟病的是可读性的问题——透明让底层的内容影响了顶层内容的阅读。这个问题在这个四位up主对谈的视频里讨论过。新UI的实现分为四层——Lense层（基础的材质）、Diffusion层（让透视光线变柔和）、高光层（控制透明度）、 文字与UI。为了改善可读性，苹果官方的文档都指出可以调整Diffusion层与高光层。事实上，在视频播放器界面，暂停按钮（纯SVG图标）和+10s、-10s按钮（混合了文字的图标）已经做了可读性的区别。但是在控制中心，苹果对于可读性的控制就非常差——明明通过调整参数就可以解决。不知道是不是为了小小引起热度，还是纯粹是beta版系统不够完善。我看到的小道消息是，控制中心就是还没有做完。

（感觉对第三方未适配app的支持还不错）

这个UI的另外一个争议是对性能和续航的损耗。WWDC引出新UI的方式都是说“随着算力的提高”，而且这种材质和效果势必会增加性能与续航的压力。我看到的小道消息，说是并没有用到光追，但是也确实非常吃性能和能耗。就我自己而言，我本来想为了体验iPad版的Journal（事实上也并未上线），把我的A15 iPad mini 6升级至了Developer Beta，结果系统卡顿到了一个完全不可用的状态。我现在手持的还是续航尿崩的苹果小火龙——iPhone 15 pro，在极客湾续航排行榜中垫底，已经开始担心续航了。

¶iPadOS——史诗级提升

iPadOS红绿灯冒出来的那一刻，我就震惊了。

我认为桌面操作系统和移动端操作系统的根本区别有两个

• 手动杀后台vs自动杀后台
• 以文件为中心vs以应用为中心

其实这次iPadOS确实在这两个方向发力。

对于前者，iPadOS允许了应用保持在后台，但是它的逻辑其实是折中的：对于桌面操作系统来说，默认不自动杀后台；对于移动操作系统，默认自动杀后台；而对于这次的iPadOS，默认自动杀后台，但是程序可以调取API，申请自己不被杀掉的权限。这这种操作逻辑足够简单，保持了移动端方面管理窗口的优势；又足够精细，保持了桌面端管理进程的优势。期待实际使用的效果。

对于后者，传统来说，桌面操作系统的应用可以对所有的文件都可以方便地获得相关权限，移动操作系统的应用只能获取该应用下文件的相关权限，想要获得全局的权限就相对麻烦。新的iPadOS维持了这一点不变，但是改变了其表现形式——桌面系统的表现也是以文件为中心的，其桌面上是文件；移动操作系统是以应用为中心的，其桌面上是应用。但是新的iPadOS允许将文件固定到Docker栏上，这已经部分地把文件和应用放到同一个等级上了（虽然安卓早已可以）。没有实际体验过，不知道这种程度的对于文件的地位的提升是否足够生产力的发展。

所以，你的下一台电脑，是否还需要是一台电脑吗？

iPadOS更新至此，生产力的瓶颈就不是系统了，而是应用了，之前被系统困太久的厂商可以发力了，做出一些更加像样的iPad端桌面级App了。

但是，随之我们又有了另外一个问题，那Mac呢？

上文所提的四位up对谈视频中有人提出，Mac和iPad只是占据各自舒适的生态位，我对此不完全赞同。我对于它的最直觉的感受是，iPad采用更加接近Mac的逻辑反而使得Mac的逻辑更容易被大家接受，反而会促进大家对于Mac的接受。而iPad本身承担的是“触屏电脑”的地位——Mac从来不做触控屏，是因为那个角度触控很别扭，但是触控放到iPad形态的桌面端设备，反而就合理起来，不论是硬件形态还是系统上。

可喜可贺，可喜可贺！不知道二手的iPad pro会不会涨价。这下12.9英寸和13英寸的iPad，M系列芯片的Mac，全部都更加合理了。

¶3D照片——新的护城河？

之前up主两颗皮蛋制作过系列节目【苹果护城河】，其中就有一期讲的是HDR，深以为然。

我认为，苹果在影像方面的护城河，历来有三：

其一为实况：前些年不受到广泛支持，从各个app对其适配，推动安卓也对其适配，其中经过近10年；

其二为HDR：苹果的HDR管理真的最完善最简单，而安卓与Windows的HDR管理总是相当麻烦。现在印象里安卓已经做得不错了，对安卓不构成护城河了，但是Windows的HDR管理依旧一言难尽，HDR与SDR的区分做得很差（不过近年来不怎么用Windows尤其是高端Windows了，也只是印象，欢迎反驳）；

其三为视频：iPhone的视频能力就是一直都一骑绝尘：尤其是稳定的4k60Hz和防抖性能更是，还有一些电影效果之类的有意思的功能，至今应当仍为护城河（也是印象里，欢迎举反例）。

而今年增加了照片3D化的功能，我认为很有可能是新的护城河。我更新了beta版的iPadOS之后的体验还是相对来说满意的，虽然达不到Vision Pro的效果，虽然只有富有层次感/主体在照片中心/使用广角拍摄的效果较好，但是依然让我很激动，感觉照片真的比以前更加鲜活了。上文所提的四位Up对谈中提出，这不是简单的双眼视察，而是运用了近1，2年兴起的高斯泼溅技术，迅速地将其应用到了新系统，确实让人印象深刻。

¶一些笑点

¶伟大的Apple Music支持了歌词翻译和读音！！

¶什么聊天工具现在才支持换背景

¶向飞书学习——多彩文件夹+emoji

¶Duolingo

¶让我吃惊的几幕

¶全是国产车

¶insta360有出息了

以上

参考：

1. 林亦LYi 苹果AI怎么就鸽了？ https://www.bilibili.com/video/BV1VYjnzuEkg/
2. 谐门东西 ⭕️iOS 19图标变圆？别扯了…… https://www.bilibili.com/video/BV1B1jYzUERX/
3. Apple Apple管理层 https://www.apple.com.cn/leadership/
4. 爱否科技FView、极客湾Geekerwan、ZEALER官方频道、电丸科技AK【WWDC25 特别节目】Apple 新系统们怎么样？且听四位科技 UP 锐评 https://www.bilibili.com/video/BV1noMczkEMP/
5. 两颗皮蛋 [护城河]苹果，重新定义HDR https://www.bilibili.com/video/BV1V14y1R7Rk
6. Apple WWDC25 Keynote https://podcasts.apple.com/us/podcast/apple-events-video/id275834665

感谢以下朋友与我交换信息、探讨WWDC2025：

• Apple fans群聊
• JWST
• Stephen Chen

¶1.1 光量子、玻尔原子

¶1.1.1 黑体辐射与普朗克的量子假设

¶基尔霍夫辐射定律

单色辐出度$M(\lambda,T)=\dfrac{dE_\lambda}{d\lambda}(w/m^3)$：单位时间物体表面单位面积内发射的波长在$\lambda$附近单位波长间隔内的辐射能

总辐出度$M(T)=\int_0^{+\infty}M(\lambda,T)d\lambda$

物体向周围发射辐射能的同时，也吸收周围物体的辐射能。辐射从外界入射到不透明物体时，一部分吸收，一部分反射（一部分透射）

单色吸收比$\alpha(\lambda,T)$在波长为$\lambda\sim\lambda+d\lambda$范围内的吸收比

任何温度下吸收比=1称为（绝对）黑体

$\dfrac{M_1(\lambda,T)}{\alpha_1(\lambda,T)}=\dfrac{M_2(\lambda,T)}{\alpha_2(\lambda,T)}=\cdots=M_0(\lambda,T),M_0(\lambda,T)是黑体单色辐出度$

带小孔孔腔视为绝对黑体的模型

黑体辐射基本规律：

1. 斯特藩-玻尔兹曼定律：==$M_0(T)=\sigma T^4$==，总辐出度$M_0(T)$
2. 维恩位移定律：==$\lambda_mT=b$==，单色辐出度的峰值波长$\lambda_m$

¶普朗克能量子假说

普朗克公式：==$M_0(\lambda,T)=2\pi hc^2\lambda^{-5}\dfrac1{e^{hc/k_BT\lambda}-1}$==

• 波长短/温度低的近似：

  维恩公式：$M_0(\lambda,T)=2\pi hc^2\lambda^{-5}e^{-hc/k_BT\lambda}$

• 波长高/温度高的近似：

  瑞利-金斯公式：$M_0(\lambda,T)=2\pi k_Bc\lambda^{-4}T$

普朗克假定：$谐振子能量值只取某个最小能量的整数倍\epsilon = h\nu$

¶1.1.2 光的波粒二象性

1. 光电效应

   1. 电势差足够大时，光电流饱和，饱和电流大小与入射光强成正比

   2. 遏制电压$U_0$，$U=-U_0$，光电流为0。光电子从表面逸出最大初速度$v_m$满足：$\dfrac12mv_m^2=eU_0$。最大初动能于入射光强度无关

   3. 红限频率

      遏制电势差与入射光频率有线性关系，斜率与金属种类无关

   4. 弛豫时间

      几乎瞬时

2. 爱因斯坦光电效应方程

   1. 光强：$nh\nu$
   2. 遏制电压：$\dfrac12mv^2=h\nu-A=eU_c,\ A:逸出功$
   3. 红限频率：$v_0=\dfrac Ah$

3. 康普顿散射

   ==$\Delta\lambda=\lambda-\lambda_0=\dfrac h{m_ec}(1-\cos\theta)$==

¶1.1.3 玻尔原子理论

氢原子光谱来自电子跃迁，因此不是连续谱

里德伯公式：$\tilde{\nu}=\dfrac1\lambda=R_H(\dfrac1{m^2}-\dfrac1{n^2})$, $R_H=1.0967758\times10^7 m^{-1}$，单位是$1/m$

玻尔假设：

1. 定态条件：电子绕核圆周运动，不辐射能量，处于稳定状态称为定态，相应的能量称为能级
2. 频率条件：跃迁能量$h\nu=E_n-E_m$
3. 角动量量子化条件：==$mv_nr_n=n\hbar=n\dfrac h{2\pi}$;$\dfrac {e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=m\dfrac{v^2}r$==

==$E_1=-13.6eV$==单位是eV

¶1.2 物质波

¶1.2.1 物质波

实物粒子具有波动性

$E=h\nu=\hbar\omega$

$\vec p=\dfrac h\lambda\vec n=\hbar k\vec n$

¶1.3&1.4 波函数和态叠加原理&薛定谔方程

¶1.4.1 波函数

波函数用平面波描述：

1. ==自由粒子：$\Psi(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}=Ae^{\frac i\hbar(px-Et)}$==
2. 势场中的粒子：$\Phi(\vec r,t)$

纹间距$\Delta\propto\lambda,\lambda=\dfrac h{mv}$

性质：单值、有限（全空间中模长积分为0）、连续

$\int_{-\infty}^{\infty} x^n e^{-\alpha x^2} dx = 0 \quad \text{（n 为奇数）}$

$\int_{-\infty}^{\infty} x^{2k} e^{-\alpha x^2} dx = \frac{(2k - 1)!!}{(2\alpha)^k} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$

==特别一些，$\int_{-\infty}^\infty x^{2k}e^{-x^2}dx=(2k-1)!!\sqrt{\pi}$==

==再特别一些，$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$==

¶1.4.2波函数的应用

1. 电子绕核转动形成环形驻波：$2\pi r=n\lambda;\lambda=\dfrac h{mv}\Rightarrow L=mvr=n\hbar$
2. 一维无限深势阱驻波：$L=n\dfrac \lambda 2\Rightarrow p = \dfrac h\lambda=n\dfrac h{2L};E_n=\dfrac{p^2}{2m}=n^2\dfrac{h^2}{8mL^2}$

¶1.4.3波函数的统计解释

1. 亮度：德布罗意波强度的大小$\left |\Psi\right |^2=\Psi\Psi^*=\begin{cases}极大值，&亮条纹\0，极小值，&暗条纹\end{cases}$

   亮度的物理意义为概率密度

2. 波函数满足条件

   1. 单值，任何地方不可能有多个波函数（概率密度）

   2. 有限：$\int\limits_\Omega\left | \Psi(\vec r,t)\right |^2dV=1（\Omega为全空间）$

      （但不排除有些孤立奇点趋于无穷

   3. 连续：二阶导存在

¶1.3.1 薛定谔方程

1. 自由粒子的薛定谔方程

   ==$i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial}{\partial x^2}\Psi(x,t)$==

   1. 推广到势场$U(x,t)$

      ==$i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=\left[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial}{\partial x^2}+U(x,t)\right]\Psi(x,t)$==

   2. 推广到三维情况

      $\nabla^2=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}$

      ==$\hat H=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(\vec r,t)$==

      $i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec r,t)=\hat H\Psi(\vec r, t)$

2. 定态薛定谔方程(粒子在空间中出现的概率是稳定不变的)

   若$\dfrac{\partial\hat H}{\partial t}=0$或者$U$与时间无关，则薛定谔方程可以分离变量

   1. 分离变量

      1. ==$i\hbar\dfrac{dT(t)}{dt}=ET(t)$==
      2. ==$\hat H\Phi(\vec r)=E\Phi(\vec r)$==

   2. 振动因子

      分离变量方程1的解为$T(t)=Ce^{-\frac ihEt}$

   3. 定态薛定谔方程（能量本征方程）就是方程2

      ==$\left(-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(\vec r)\right)\Phi(\vec r)=E\Phi(\vec r)$==

      通解：$\Psi(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_ne^{-\frac{iE_nt}\hbar}\Phi_n(x)$

   定态：能量取特定值的状态，薛定谔方程的特解

   ==判断是否是定态：$\left | \Psi(x,t)\right |^2=\Psi(x,t)^*\cdot\Psi(x,t)$是否与$t$相关，不相关则定态==

¶1.3.2 不确定度关系

$\Delta x\cdot\Delta p_x\geq\dfrac{\hbar}2$

$\Delta y\cdot\Delta p_y\geq\dfrac{\hbar}2$

$\Delta z\cdot\Delta p_z\geq\dfrac{\hbar}2$

$\Delta E\cdot \Delta t\geq \dfrac \hbar 2$

¶1.3.3 几率流密度矢量

==$i\hbar(\Psi^\Psi)=\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla\cdot[\Psi\nabla\Psi^-\Psi^*\nabla\Psi]$==

几率密度：$\rho=\Psi^*\Psi$

几率流密度矢量：==$\vec J=\dfrac{i\hbar}{2m}[\Psi\nabla\Psi^-\Psi^\nabla\Psi]$==

几率守恒方程：

微分形式：$\dfrac \partial{\partial t}\rho+\nabla\cdot\vec J=0$积分形式：$\frac{d}{dt}\int_\tau\rho(\vec r,t)d\tau=-\oint_S \vec J\cdot d\vec S$

左边：闭区域$\tau$内找到粒子的总几率（或粒子数）在单位时间内的增量

右边：单位时间内通过$\tau$的封闭表面 $S$流入（面积分前面的负号）$\tau$内的几率（或粒子数）

¶1.3.3 叠加态

1. 若$\Psi_1,\Psi_2,\cdots,\Psi_n$是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性叠加态$\Psi=\sum\limits_{i=1}^nc_i\Psi_i$

2. 处于$\Psi态时，部分地处于每种态，处于\Psi_k态的几率是\left|c_k\right|^2$，且$\sum\limits_{k=1}^n\left|c_k\right|^2=1$

   条件：

   1. $\Psi_1,\cdots,\Psi_n$正交归一
   2. $\Psi$满足归一化条件$\int\Psi^*\Psi_ldx=\delta_{kl}=\begin{cases}1&k=l\0&k\neq l\end{cases}$

¶1.4.4 无限深阱势中的粒子

==$\Phi(x)=\begin{cases}\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\dfrac{n\pi}ax &0<x<a&阱内\0&x\leq0,x\geq a&阱外\end{cases}$==

性质：

1. 正交性：$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Phi^*m(x)\Phi_n(x)dx=\delta{mn}=\begin{cases}1&m=n\0&m\ne n\end{cases}$
2. 通过初始状态确定每一个本征波函数的系数
3. 基态是$E_1$，第n激发态是$E_{n+1}$，==$E_n=\dfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$==
4. 边界条件：函数连续且一阶导连续

¶1.5 物理量与算符

1. 位置算符：$\hat x\rightleftharpoons x$

2. 动量算符：$\hat p \rightleftharpoons -i\hbar\nabla$

3. 总能量算符：$\hat H\rightleftharpoons-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(\vec r)$

4. 设算符为$\hat A$，则以下物理量的==平均值为$\int_{-\infty}^\infty \Psi^*\hat A\Psi dx$==

   物理量	坐标空间表示（$x$ 表象）	动量空间表示（$p$ 表象）	说明
   位置算符$\hat{x}$	$\hat{x} = x$	$\hat{x} = i\hbar \frac{d}{dp}$	乘法/导数互为傅里叶对
   动量算符$\hat{p}$	==$\hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx}$==	$\hat{p} = p$
   动能算符$\hat{T}$	==$\hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}$==	$\hat{T} = \frac{p^2}{2m}$
   势能算符$\hat{U}(x)$	==$\hat{U}(x) = U(x)$==	$\hat{U}(x) = U(i\hbar \frac{d}{dp})$	非平移不变势变成微分算符
   哈密顿量$\hat{H}$	==$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + U(x)$==	$\hat{H} = \frac{p^2}{2m} + U(i\hbar \frac{d}{dp})$	总能量
   力矩$\hat{L}_z$	$\hat{L}_z = -i\hbar \left( x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x} \right)$	$\hat{L}_z = -i\hbar \left( p_x \frac{\partial}{\partial p_y} - p_y \frac{\partial}{\partial p_x} \right)$	平面角动量（z分量）
   总角动量$\hat{\vec{L}}$	$\hat{\vec{L}} = -i\hbar \vec{r} \times \nabla$	$\hat{\vec{L}} = -i\hbar \vec{p} \times \nabla_p$	三维角动量向量
   角动量平方$\hat{L}^2$	$\hat{L}^2 = -\hbar^2 \left( \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2} \right)$	同左（在$p$ 空间极坐标中结构相同）	球坐标形式，常见于中心势问题
   $\hat{L}_x$	$-i\hbar (y \dfrac \partial{\partial z} - z \dfrac{\partial}{\partial y})$	同形式	角动量 x 分量
   $\hat{L}_y$	$-i\hbar (z \dfrac\partial{\partial x} - x \dfrac\partial{\partial z})$	同形式	角动量 y 分量
   $\hat{L}_z$	$-i\hbar (x \dfrac\partial{\partial y} - y \dfrac\partial{\partial x})$	同形式	角动量 z 分量
   自旋$\hat{S}_x$	$\hat{S}_x = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}$	同左	Pauli 矩阵$\sigma_x$
   自旋$\hat{S}_y$	$\hat{S}_y = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \ i & 0 \end{pmatrix}$	同左	Pauli 矩阵$\sigma_y$
   自旋$\hat{S}_z$	$\hat{S}_z = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}$	同左	Pauli 矩阵$\sigma_z$
   粒子数算符$\hat{N}$	$\hat{N} = \hat{a}^\dagger \hat{a}$	同左	通常用于谐振子/量子场理论

5. 算符的运算规则

   1. 线性算符

   2. 算符之和：$(\hat A+\hat B)\psi=\hat A\psi+\hat B\psi$

   3. 算符之积：$(\hat A\hat B)\phi=\hat A(\hat B\phi)$

   4. $\left[\hat A\hat B-\hat B\hat A\right ]=\hat A\hat B-\hat B\hat A为方程\hat A和\hat B的对易式，若为0，则两者对易$

   5. 算符的本征方程（类似矩阵的特征值）$\hat A\varphi=\lambda\phi$

   6. 算符的复共轭：所有复量换成共轭复量

   7. 厄密算符（厄密算符的共轭转置等于本身）

      若两个任意的波函数$\psi$和$\varphi$，满足$\int\psi^\hat F\varphi d\tau=\int(\hat F\psi)^\varphi d\tau,d\tau\equiv dxdydz$

      常见厄密算符：位置算符、动量算符、能量算符

      量子力学中的力学量算符都是厄密的

6. 厄密算符

   1. 实数性：本征值为实数

   2. 正交性：任意两个本征函数总是正交的

      函数的正交：$\int\psi^*_1(\vec r)\psi_2(\vec r)d\tau=0$

   3. 完备性：

   4. 即对任一模平方可积函数$\psi$，可表示为$\psi(\vec r)=\sum\limits_nc_n\psi_n(\vec r)$，这也可称为广义傅立展开

¶1.6 力学的测量值 测量与量子态的坍缩

1. 粒子处于本征态$\psi _n$时，测量值是确定的，为本征值$\lambda_n$
2. 如果体系 $\psi(\vec{r})=\sum\limits_n c_n \psi_{n}(\vec{r})$ 不处于 F 的本征态，它的力学量的测量值不是确定的：测量值可能为任意一个本征态 $\psi_{n}$ 对应的本征值 $\lambda_{n}(n=1,2,...)$，对应的概率分布为 $|c_n|^2$。
   $c_{n}=\int \psi_{n}^{*}(\vec{r}) \psi(\vec{r}) d\tau$
   $c_{n}$ 代表了两个态的“相似程度”→ 测量坍缩到本征态 $\psi_{n}$ 的概率
3. 第一次测量之后，量子态会坍缩为一个$\psi_n$，第二次测量时，体系的态就是$\psi_n$了
4. 物理量的偏差为方均根偏差，即$\Delta x = <x^2>-^2$

¶1.7 不同力学量能同时确定的条件

==两个力学量能同时确定（即具有共同本征态）的充分必要条件是它们的算符对易。==

角动量算符互相不对易

角动量平方算符与其分量对应

角动量算符与坐标算符对应

==角动量算符本征值：$l=0,1,2,\cdots,m=l,l-1,\cdots,-l+1,-l$，对应的本征函数（波函数）是$\Psi_m(\varphi)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi}$==

球谐函数$Y_{lm}$是$\hat L^2$和$\hat L_z$共同的本征函数

$\hat L^2 Y_{lm}(\theta,\varphi)=l(l+1)\hbar^2Y_{lm}(\theta,\varphi)$

$\hat L_zY_{lm}(\theta,\varphi)=m\hbar Y_{lm}(\theta,\varphi)$

角动量大小：==$\sqrt{l(l+1)}\hbar$==

$l=0,1,\cdots,n-1;m=-l,-l+1,\cdots,l-1,l$

谐振子能量是量子化的==$E_n=(n+\dfrac12)\hbar\omega$==

波函数$\Psi_n(x)=\left(\dfrac{\alpha}{2^n\sqrt\pi n!}\right)^{1/2}H_n(\alpha x)e^{-\dfrac12\alpha^2x^2},\alpha=\sqrt{\dfrac{m\omega}{\hbar}}$

$H_n(\xi)=(-1)^ne^{\xi}\dfrac{d^n}{d\xi^n}(e^{-\xi^2})$

$H_0(\xi)=1,H_1(\xi)=2\xi,H_2(\xi)=4\xi^2-2,H_3(\xi)=8\xi^3-12\xi$

n偶：偶宇称，n奇：奇宇称

¶第二章

¶2.1 有限深势阱

¶2.2 方势垒

$\begin{cases}\varPsi_1=Ae^{ikx}+A'e^{-ikx}&k<0\\varPsi_2=Be^{k'x}+B'e^{-k'x}&0<x<a\\varPsi_3=Ce^{ikx}&x>a\end{cases}$

反射系数：$R=\dfrac{\left |A'\right |^2}{\left | A \right |^2}$

透射系数：$T=\dfrac{\left |C\right |^2}{\left | A \right |^2}$

R+T=1

¶2.3 氢原子

类氢原子：$E_n=-\dfrac{m_eZ^2e^4}{2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2n^2}$

$\varPsi(r,\theta,\varphi)=R_{nl}(\theta,\varphi)Y_{lm}(\theta,\varphi)$，前者径向，后者角向（球谐函数）

¶2.4 双态系统

态空间是二维的，于是哈密顿算符变成哈密顿矩阵，薛定谔方程的矩阵形式变为：

$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix}C_1\C_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\H_{21}&H_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}C_1\C_2\end{pmatrix}$

取基矢，使$\hat H$为本征态，则有

$\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\H_{21}&H_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}E_I&0\0&E_{II}\end{pmatrix}$，进一步得到$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix}C_I\C_{II}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}E_I&0\0&E_{II}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}C_I\C_{II}\end{pmatrix}$

常用互易关系

$[\hat{A} \hat{B}, \hat{C}] = \hat{A} [\hat{B}, \hat{C}] + [\hat{A}, \hat{C}] \hat{B}$

==$[\hat x,\hat y]=0$==

==$[\hat p_x,\hat p_y]=0$==

==$[\hat x,\hat p_x]=i\hbar$==

==$[\hat x,\hat L_y]=i\hbar z$==

==$[\hat x,\hat L_z]=-i\hbar y$==

==$[x,\hat p_y]=[x,\hat p_z]=0$==

$\left[\hat{L_x},\hat{L_y}\right]=i\hbar\hat{L_z}$

$\left[\hat{L}^2,\hat{L_x}\right]=0$

$[\hat H,\hat L_z]=0$

$[\hat H,\hat p]=0$

¶0 导论

¶0.1 什么是马克思主义?

马克思主义的三个基本组成部分：马克思主义哲学、马克思主义政治经济学、科学社会主义

学习把马克思主义基本原理：

• 基本立场：马克思主义观察、分析和解决问题的根本立足点和出发点，以无产阶级的解放和全人类的解放为己任，以人的自由而全面发展为美好目标，以人民为中心，坚持一切为了人民，一切依靠人民，全心全意为人民谋幸福
• 基本观点：
  • 关于自然、社会和人类思维发展一般规律的科学认识
  • 对资本主义社会和社会主义社会发展规律的科学认识
  • 对人类思想成果和社会实践经验的科学总结
• 基本方法：是建立在辩证唯物主义和历史唯物主义世界观和方法论基础上，指导我们正确认识世界和改造世界的思想方法和工作方法

¶0.2 马克思主义的创立和发展

马克思主义的社会根源、阶级基础和思想根源：

• 社会根源：

  • 社会两极分化，工人极端困苦
  • 周期性经济危机频繁爆发

• 阶级基础：工人运动的兴起，标志着现代无产阶级作为独立的政治力量登上了历史舞台。

  • 法国里昂工人起义
  • 英国宪章运动
  • 德国西里西亚织工起义

• 思想根源：

  • 直接的理论来源：德国古典哲学、英国古典政治经济学、英法空想社会主义
  • 自然科学前提：19 世纪的三大科学发现，即细胞学说、能量守恒与转化定律、生物进化论

¶著作：

• 马恩合写《德意志意识形态》，首次系统阐述了历史唯物主义的基本观点，实现了历史观上的伟大变革。
• 《共产党宣言》发表，标志着马克思主义的公开问世。
• 《资本论》系统阐述了剩余价值学说。唯物史观和剩余价值学说是马克思一生的两个伟大发现。
• 1876-1878，恩格斯写出了《反杜林论》，全面阐述了马克思主义理论体系。

马克思主义创新发展的基本路径：

• 本土化和时代化是马克思主义创新发展的基本路径。
  • 本土化：马克思主义基本原理与各国国情相结合，并在各国落地生根、开花结果的过程；
  • 时代化：马克思主义基本原理与时代特征相结合，回答新的时代问题，始终把握时代、引领时代的过程。

马克思主义中国化成果：

• 毛泽东思想、邓小平理论、“三个代表”重要思想、科学发展观、习近平新时代中国特色社会主义思想。

¶0.3 马克思主义的基本特征

马克思主义的基本特征：鲜明的科学性、人民性、实践性、发展性（科学性与革命性的统一），这些是马克思主义的本质、使命、理论形象。

• 科学的理论：马克思主义是对自然、社会和人类思维发展本质和规律的正确反映。它是在社会实践和科学发展的基础上产生的，并在自身发展过程中不断总结实践经验，吸取自然科学和社会科学发展的最新成就。
• 人民的理论：人民性是马克思主义的本质属性，人民至上是马克思主义的政治立场。
• 实践的理论：马克思主义是从实践中来、到实践中去、在实践中接受检验，并随实践而不断发展的学说。
• 发展的理论：马克思主义是不断发展的开放的学说，具有与时俱进的理论品质。马克思主义是时代的产物，并随着时代、实践和科学的发展而不断发展。

¶1世界的物质性及发展规律

¶1.1 世界的多样性与物质统一性

¶1.1.1 物质及其存在方式

全部哲学的基本问题： 存在和思维的关系问题（物质和意识的关系问题）

哲学基本问题主要包括两方面内容：

• 谁为本原（何者为第一性）——唯心主义&唯物主义
• 是否具有同一性的问题（思维能否正确地反映存在、人能否认识或彻底认识世界的问题）——可知论&不可知论

唯物主义哲学的理论基石：物质范畴

哲学中，物质的定义：

• 物质是不依赖于人类的意识而存在，并能为人类的意识所反映的客观实在。

马克思主义的物质观：客观实在性是物质的唯一特性。

1. 坚持唯物主义一元论
2. 坚持能动的反映论和可知论
3. 唯物论和辩证法的统一
4. 唯物主义自然观与历史观的统一。

物质的根本属性：

• 物质的根本属性是运动。

• 运动绝对，静止相对（空间相对位置、事物根本属性的相对静止）

• 基本存在属性：时间（一维性）和空间（三维性）

  两者不可分割，证明了两者客观性。

• 物质、运动、时间、空间具有内在的统一性，要求我们想问题要看具体时间地点条件

物质世界的二重化

• 世界分化为自然界与人类社会
• 世界分化为客观世界和主观世界
• 人的实践活动是分化和统一的关键

¶1.1.2 物质与意识的辩证关系

• 物质决定意识

  • 意识
    • 人脑的机能和属性
    • 客观世界的主观映象
    • 客观内容和主观形式的统一
    • 物质对意识的决定作用表现在意识的起源和本质上

• 意识对物质具有反作用

  • 目的性、计划性
  • 创造性
  • 指导实践改造客观世界的作用
  • 调控人的行为和生理活动的作用

• 主观能动性和客观规律性的统一

  • 尊重客观规律是正确发挥主观能动性的前提

  • 只有充分发挥主观能动性，才能正确认识和利用客观规律

    • 前提：从实际出发
    • 根本途径：实践
    • 依赖于物质条件和物质手段

  • 坚持遵循客观规律与发挥主观能动性相统一，要求充分发扬历史主动精神

• 意识与人工智能

  • 人类意识是知情意的统一体，而人工智能只是对人类的理性智能的模拟和扩展
  • 社会性是人的意识所固有的本质属性，而人工智能不可能真正具备人类的社会属性
  • 人类的自然语言是思维的物质外壳和意识的现实形式，而人工智能难以完全具备理解自然语言真实意义的能力
  • 人工智能能够获得人类意识中可以化约为数字信号的内容，但人脑中总有许多东西是无法被化约的

规律：

• 规律是事物变化发展过程中本身所固有的内在的、本质的、必然的联系

¶1.1.3世界的物质统一性

世界的统一性在于它的物质性，世界统一于物质。这是辩证唯物主义最基本、最核心的观点，是马克思主义的基石

• 自然界是物质的。
• 人类社会本质上是生产实践基础上形成的物质体系。
• 人的意识统一于物质。

¶⭐️1.2 事物的普遍联系和变化发展

¶1.2.1 联系和发展的普遍性

联系和发展的观点是唯物辩证法的总观点，集中体现了唯物辩证法的总特征。

事物的普遍联系：

• 客观性 ，坚持联系的客观性，就是在联系的观点上坚持了唯物论

• 普遍性 （三重含义）

  • 事物内部不同部分和要素之间相互联系（内在结构性）
  • 任何事物不能孤立存在，都同其他事物处于一定的联系之中
  • 整个世界是相互联系的统一整体

• 多样性

  • 直接联系与间接联系
  • 内部联系与外部联系
  • 本质联系与非本质联系
  • 必然联系与偶然联系

• 条件性

  • 支持或制约作用
  • 条件可以改变
  • 改变和创造条件不是任意的

事物的变化发展：

• 实质：新事物的产生和旧事物的灭亡

  • 判断新旧，不在于形式与出现时间先后
  • 新事物是指合乎历史前进方向、具有远大前途的东西
  • 旧事物是指丧失历史必然性、日趋灭亡的东西。

• 在新陈代谢的发展中，新事物不可战胜的

  • 新事物与环境：有新的要素、结构和功能，它适应已经变化了的环境和条件
  • 新事物与旧事物：新事物是在旧事物的“母体”中孕育成熟的，否定了旧事物中消极腐朽的东西，又保留了旧事物中合理的、适应新条件的因素，并添加了旧事物所不能容纳的新内容。
  • 社会历史领域：根本上符合人民群众的利益和要求，能够得到人民群众的拥护，因而必然战胜旧事物。

¶1.2.2 对立统一规律是事物发展的根本规律

• 对立统一规律是唯物辩证法的实质和核心。
• 对立统一规律揭示了事物普遍联系的根本内容和变化发展的内在动力，从根本上回答了事物为什么会发展的问题。

事物变化发展的一般规律

• 对立统一规律 （根本规律）（内在动力）
• 量变质变规律（状态、过程和趋势）
• 否定之否定规律（状态、过程和趋势）

矛盾是反映事物内部、之间对立统一关系

• 基本属性：对立（斗争性）和统一（同一性），两者相互依存、相互转化

• 同一性作用

  • 是事物存在和发展的前提
  • 使矛盾双方相互吸取有利于自身的因素，在相互作用中各自得到发展
  • 同一性规定着事物转化的可能和发展的趋势

• 矛盾的斗争性在事物发展中的作用表现在：

  • 矛盾双方的斗争促进矛盾双方力量的变化，造成双方力量发展的不平衡，为对立面的转化、事物的质变创造条件
  • 矛盾双方的斗争是一种矛盾统一体向另一种矛盾统一体过渡的决定性力量。

• 矛盾的同一性和斗争性相互联结、相辅相成

  • 没有斗争性就没有同一性，没有同一性也没有斗争性

  • 斗争性寓于同一性之中，同一性通过斗争性来体现。

  • 矛盾的同一性是有条件的、相对的，矛盾的斗争性是无条件的、绝对的

  • 矛盾的同一性和斗争性相结合，构成了事物的矛盾运动，推动着事物的变化发展

    要善于把二者结合起来

¶⭐️1.2.2.2 矛盾的普遍性和特殊性及其相互关系

矛盾的普遍性：矛盾存在于一切事物的一切发展过程中

矛盾的特殊性：每个事物、阶段各有其特点；决定了事物的不同性质。

事物的性质是由主要矛盾的主要方面所决定的：

• 主要矛盾&次要矛盾
• 在每一对矛盾中，主要方面&次要方面。

要坚持“两点论”和“重点论”的统一：

• “两点论”

  • 不仅要看到矛盾双方的对立，而且要看到矛盾双方的统一；
  • 不仅要看到矛盾体系中存在主要矛盾、矛盾的主要方面， 而且要看到次要矛盾、矛盾的次要方面。

• “重点论”是指要着重把握主要矛盾、矛盾的主要方面，并以此作为解决问题的出发点。

• “两点论”和 “重点论”的统一要求我们，看问题既要全面地看，又要看主流、大势、发展趋势

矛盾的普遍性与特殊性的辩证统一关系：矛盾的普遍性和特殊性是辩证统一、相互联系、不可分割的：p47

• 矛盾的共性是无条件的、绝对的，矛盾的个性是有条件的、相对的。
• 普遍性寓于特殊性之中
• 特殊性包含普遍性
• 普遍性和特殊性在一定条件下相互转化（对于范围的视角的变化）

¶1.2.2.3 量变质变规律和否定之否定规律

¶量变质变的辩证关系

1. 量变是质变的必要准备：质变以量变积累为前提
2. 质变是量变的必然结果，并为新的量变开辟道路：量变积累达到一定程度，突破界限时，必然引起质变
3. 量变和质变相互渗透

• 量变过程包含着部分质变/阶段性质变。
• 质变过程包含着量的扩张或收缩

事物的发展表现为：由量变到质变，在新质的基础上又开始新的量变，再到新的质变，如此循环往复，不断前进。

量变质变规律体现了事物发展的渐进性和飞跃性的统一。

量变质变规律的方法论意义：重视量的积累；抓住时机，促成质变

¶否定之否定规律

事物的发展：通过其内在矛盾运动以自我否定的方式而实现的

否定之否定规律：揭示事物自己发展自己的完整过程及本质。

唯物辩证法的否定观（否定的深刻内涵）

• 事物内部存在肯定因素（维持现存事物存在）和否定因素（促使现存事物灭亡）
• 是自我否定、自我发展，是事物内部矛盾运动的结果，非外力强加
• 是发展的环节、通过且仅通过否定，旧事物向新事物转变
• 联系的环节： 新旧事物是通过否定环节联系起来的。
• 辩证否定的实质是“扬弃”，即新事物对旧事物既批判又继承，既克服其消极因素又保留其积极因素

事物的辩证否定经过三个阶段：肯定一否定一否定之否定

1. 事物发展的周期性：一个新的、更高层次的肯定阶段，然后又开始新的否定之否定的螺旋上升过程。
2. 前进性（每一次否定都是质变）和曲折性（前进性是趋势，但是并非一帆风顺）的统一
3. 扬弃： 克服其消极的、过时的因素，保留和发扬其积极的、合理的因素，并增添新的内容

¶1.2.2.4 联系和发展的基本环节

内容与形式、本质与现象、原因与结果、必然与偶然、现实与可能

¶2 实践与认识及其发展规律

¶2.1 实践与认识

¶2.1.1 科学实践观（不断丰富发展的）

意义：

• 克服旧唯物主义缺陷，为辩证唯物主义奠定理论基础
• 揭示了实践对认识的决定作用，为能动的、革命的反映论的创立奠定了科学的理论基础
• 第一次揭示了社会生活的实践本质
• 为人们能动地认识世界和改造世界提供了基本的思想方法和工作方法

¶2.1.2 实践的本质与基本结构

¶2.1.2.1 实践的本质

实践：人类能动地改造世界的社会性的物质活动

特征：客观实在性、自觉能动性和社会历史性

¶2.1.2.2 实践的基本结构

三项基本要素：实践的主体、客体和中介

实践的主体、客体关系：实践关系（根本）、认识关系和价值关系

实践基本结构发展，表现为主体客体化和客体主体化的双向运动

主体客体化：简单来说就是主体基于主观意识对于客体的改造与创造

客体主体化：简单来说就是主体使用客体，将其内化为一种发展主体的工具

两者都既有物质层面，又有精神层面

¶2.1.2.3 实践形式的多样性

• 物质生产实践
• 社会政治实践
• 科学文化实践
• （产生新的实践形式：虚拟实践）

¶2.1.2.4 实践对认识的决定作用

实践是认识的基础，有决定作用

1. 实践是认识的来源（与世界相互作用形成感性认识，大脑加工形成理性认识；直接（主要）、间接经验）
2. 实践是认识发展的动力（根本动力、提供必要条件、实践本身也会增加认识）
3. 实践是认识的目的
4. 实践是检验认识真理性的唯一标准

• 认识具有真理性与否只有在实践中才能得到验证。
• 实践标准的确定性 （唯一标准） 与不确定性 （历史发展性） 是辩证统一的。

¶2.1.3 认识的本质与过程

¶2.1.3.1 认识的本质

辩证唯物主义认识论（反映论）：认识的本质是主体在实践基础上对客体的能动反映。这种能动反映具有两个基本特征：

• 反映性：人类认识的基本规定性，指认识必须以客观事物为原型，在思维中再现其状态、属性和本质
• 能动的创造性：一种在思维中进行的能动、创造性的活动，人需要透过现象把握本质，用辩证思维方法在观念中加工和改造对象

两者辩证统一、不可分割的。它们不是同一本质的两个方面：

• 创造离不开反映：创造过程是在对多个方面进行反映的基础上实现的。
• 反映也离不开创造：反映是在创造过程中实现的。

两种错误的倾向及其危害：

• 只坚持反映性而忽视创造性，会重蹈旧唯物主义直观反映论的覆辙。
• 只坚持创造性而脱离反映的前提，会使创造变成主观随意，从而滑向唯心主义和不可知论。

¶2.1.3.2 从实践到认识

认识的过程：认识到实践，实践再到认识

实践与认识的两次飞跃：

• 实践与认识的辨证运动，是一个由感性认识到理性认识，又由理性认识到实践的飞跃。

感性认识和理性认识的辩证关系：

• 感性认识（直接，包括感觉（各个感觉）->知觉（整体反应）->表象（对过去感觉、直觉的回忆））
• 理性认识（概念->判断->推理）
• 理性认识依赖于感性认识（认识论的唯物论）
• 感性认识有待于发展和深化为理性认识
• 感性认识和理性认识相互渗透、相互包含
• 感性认识到理性认识条件：实践->思考
• 认识过程中有非理性因素

¶2.1.3.3 从认识到实践

从认识回到实践的必要性和重要性：

1. 认识世界的目的是改造世界：
2. 认识的真理性只有在实践中才能得到检验和发展：

¶2.1.4 实践与认识的辨证运动及其规律

• 说实践与认识“完成了”，是针对具体事物的认识而言的

  实现预期目的，使预想的思想、理论或计划在实践中大体变为事实，部分甚至全部调整

• 说它“又没有完成”，是针对实践和认识运动的持续发展而言的

  • 人类的实践是不断向前推移和发展的，因此人们的认识也必须随之发展
  • 客观现实世界的运动变化永不完结，因此人们在实践中对真理的认识也永远没有完结

¶2.2 真理与价值

¶2.2.1 真理的客观性、绝对性和相对性

真理的定义： 标志主观与客观相符合的哲学范畴，是对客观事物及其规律的正确反映。

真理的客观性： 真理的内容是对客观事物及其规律的正确反映（决定真理（内容而非形式）的一元性）

真理的绝对性和相对性：

• 真理的绝对性 ：主客观统一的确定性、发展的无限性

• 真理的相对性：在一定条件下对客观事物及其本质和发展规律的正确认识总是有限度的、不完善的

  • 客观世界的整体来看，任何真理都只是对客观世界的某一阶段、某一部分的正确认识，有待扩展
  • 就特定事物而言，任何真理都只是对客观对象一定方面、一定层次和一定程度的正确认识，任何真理都只能是主观对客观事物近似正确即相对正确的反映

• 真理的绝对性和相对性的辩证统一

  • 两重性：两者相互包含
  • 发展上：人类的认识是一个无限的过程，永远在从相对真理走向、接近绝对真理。

• 真理与谬误的对立统一

  • 在确定的对象和范围内，两者相互对立
  • 在一定范围内才有绝对的意义，超出之后就相对了

¶2.2.2 真理的检验标准

¶2.2.2.2实践是检验真理的唯一标准

实践之所以能够作为检验真理的唯一标准，是由真理的本性和实践的特点决定的。

• 本性：真理是人们对客观事物及其发展规律的正确反映，其本性在于主观和客观相符合。
• 实践：实践具有直接现实性。实践的直接现实性是它的客观实在性的具体表现。

¶2.2.2.3 实践标准的确定性与不确定性

确定性：绝对性，是指实践作为检验真理标准的唯一性、归根到底性、最终性

不确定性：相对性，实践作为检验真理标准的条件性

• 实践受到主客观制约
• 实践收到历史条件限制

¶2.2.3 真理与价值的辩证统一

¶2.2.3.1 价值

主体性、客观性、多维性和社会历史性

• 价值的主体性：直接与主体相联系，始终以主体为中心

  • 价值关系的形成依赖于主体的存在
  • 价值关系的形成依赖于主体的创造，使客体潜在的价值转化为现实的价值

• 价值的客观性：一定条件下客体对于主体的意义不依赖于主体的主观意识而存在

  • 主体的存在和需要是客观的，而不是抽象的
  • 客体的存在、属性及作用是客观的

• 价值的多维性：同一客体相对于主体的不同需要会产生不同的价值

• 价值的社会历史性：主体和客体的不断变化决定了价值的历史性

¶2.2.3.3 价值评价及其特点

价值评价是对客观价值关系的主观反映

• 评价以主客体之间的价值关系为认识对象
• 评价结果与评价主体直接相关
• 评价结果的正确与否依赖于对客体状况和主体需要的认识
• 评价结果有正确与错误之分，价值评价也有科学与非科学之别

¶2.2.3.5真理与价值在实践中的辩证统一

人们的实践活动总是受着真理尺度和价值尺度的制约

辩证关系：

• 价值尺度必须以真理为前提，脱离了真理尺度，价值尺度就偏离了合理的、正确的轨道
• 人类自身需要的内在尺度，推动着人们不断发现新的真理，脱离了价值尺度，真理就缺失了主体意义

实践的具体性和历史性->真理尺度与价值尺度的统一也是具体的、历史的

两者是否达成统一，用实践验证

¶2.3 认识世界和改造世界

¶2.3.1 认识世界的根本目的在于改造世界

¶2.3.1.1 认识世界和改造世界有辩证关系

认识世界有助于改造世界

人们只有在改造世界的实践中才能不断地深化、拓展对世界的正确认识

¶2.3.1.2 改造客观世界和改造主观世界及其辩证关系

只有在改造客观世界的实践中，才能深入改造主观世界

只有认真改造主观世界，才能更好地改造客观世界

¶2.3.1.3 认识世界和改造世界的过程是从必然走向自由的过程

自由的条件：

1. 认识条件：对客观事物（的发展）的正确认识
2. 实践条件：能够将获得的规律性认识运用于指导实践，实现改造世界的目的

¶3 人类社会及其发展规律

¶3.1 人类社会的存在与发展

¶3.1.1 社会存在与社会意识

社会存在：社会物质生活条件，是社会生活的物质方面

• 自然地理环境
• 人口因素
• 物质生产方式
  • 是人类社会赖以存在和发展的基础，是人类其他一切活动的首要前提。
  • 决定社会的结构、性质和面貌
  • 决定整个社会历史的变化发展，决定社会形态从低级向高级的更替和发展。

社会意识：社会存在的反映，是社会生活的精神方面

• 意识形态（政治法律思想、道德、艺术、宗教、哲学等）
• 非意识形态（自然科学和语言学、形式逻辑）

社会存在与社会意识的辩证关系：

• 社会存在决定社会意识

  • 社会存在是社会意识内容的客观来源，社会意识是社会物质生活过程及其条件的主观反映
  • 社会意识是人们进行社会物质交往的产物。
  • 社会意识是具体的、历史的。

• 社会意识是社会存在的反映，并反作用于社会存在 （社会意识具有相对独立性）：

  • 社会意识与社会存在发展具有不完全同步性和不平衡性
  • 社会意识内部各种形式之间存在相互影响且各自具有历史继承性
  • 社会意识对社会存在具有能动的反作用，这是社会意识相对独立性的突出表现。

¶3.1.2 社会基本矛盾及其运动规律

¶3.1.2.1 生产力与生产关系的矛盾运动及其规律

生产力： 生产实践中所需的物质力量，客观现实性、社会历史性

• 基本要素包括：劳动资料、劳动对象、劳动者
• 劳动者是生产力中最重要、最活跃、起决定性作用的因素。
• 在生产过程中，劳动者使用劳动资料，作用于劳动对象，从而生产出物质产品。劳动资料和劳动对象合称为 “生产资料”。

科学技术是生产力中的重要因素：

• 引起劳动资料、劳动对象和劳动者素质的深刻变革和巨大进步
• 提高管理效率
• 提高劳动生产率
• 科学技术是第一生产力

生产关系：生产关系是人们在物质生产过程中形成的不以人的意志为转移的经济关系，其中生产资料所有制关系最基本，目前公有制和私有制并存

生产力与生产关系的相互关系是

• 生产力决定生产关系。

  • 生产力状况决定生产关系的性质
  • 生产力的发展决定生产关系的变化。生产关系是生产力发展需要的产物，只有当它为生产力提供足够的发展空间时才能够存在。

• 生产关系对生产力具有能动的反作用

  • 当生产关系适合生产力发展的客观要求时，对生产力的发展起推动作用
  • 当生产关系不适合生产力发展的客观要求时，就会阻碍生产力的发展。

¶3.1.2.2 经济基础与上层建筑的矛盾运动及其规律

经济基础：

• 经济基础是指由社会一定发展阶段的生产力所决定的生产关系的总和。
• 决定一个社会性质的是其中占支配地位的生产关系。

上层建筑：

• 上层建筑是建立在一定经济基础之上的意识形态以及与之相适应的制度、组织和设施
• 政治上层建筑居于主导地位

国家政权：用暴力把社会冲突保持在秩序范围内

• 在整个上层建筑中，政治上层建筑居于主导地位，国家政权是政治上层建筑的核心
• 国体：社会各阶级在国家中的地位
• 政体：统治阶级用何形式组织自己的政权

经济基础与上层建筑的辩证统一关系：

• 经济基础决定上层建筑。

  • 决定其产生（怎样的上层建筑）
  • 决定其性质（为谁服务）
  • 决定其变更

• 上层建筑对经济基础具有反作用。

  • 上层建筑积极地服务于经济基础。
  • 促进作用：当上层建筑适合经济基础状况时，促进经济基础的巩固和发展
  • 阻碍作用：当上层建筑不适合经济基础状况时，阻碍新的、先进的经济基础的形成和发展。

• 再次，经济基础与上层建筑的相互作用构成二者的矛盾运动

  • 上层建筑的不完善部分、没有反映经济基础要求的部分同经济基础发生矛盾
  • 现在占统治地位的经济基础同旧上层建筑的残余、未来上层建筑的萌芽之间的矛盾，新旧上层建筑之间、新旧经济基础之间的矛盾
  • 社会形态上升时，上层建筑适应经济基础，下降时则为对抗

• 最后，经济基础和上层建筑之间的内在联系构成了上层建筑“一定要适合”经济基础状况的规律

  • 经济基础状况决定上层建筑的发展方向，决定上层建筑相应的调整或变革；
  • 上层建筑的反作用也必须取决于和服从于经济基础的性质和客观要求

¶3.1.3 交往

作用：

1. 促进生产力的发展
2. 促进社会关系的进步
3. 促进文化的发展与传播
4. 促进人的全面发展

¶3.1.4 社会进步与社会形态更替

社会形态从低级到高级的发展、同一社会形态内部的发展，社会进步促进人的发展、推动人类解放

社会形态更替的统一性和多样性：

• 统一性：原始社会、奴隶社会、封建社会、资本主义社会和共产主义社会依次更替
• 多样性：可能跨越，可能不典型，可能迅速缓慢，可能曲折

社会形态更替的必然性与选择性：

• 必然性

  • 社会形态依次更替客观
  • 生产力与生产关系矛盾运动的规律性，从根本上规定了社会形态更替的必然性

• 选择性

  • 必然性造成了社会发展的基本趋势，为选择性提供空间
  • 主观能动性与客观规律性相统一的过程
  • 人们的历史选择性归根结底是人民群众的选择性

¶3.2 社会发展的动力

¶3.2.1 社会基本矛盾是历史发展的根本动力

社会基本矛盾：

• 生产力与生产关系之间的矛盾（根本）
• 经济基础与上层建筑之间的矛盾（体现）

作用体现在：

1. 生产力是社会基本矛盾运动中最基本的动力因素
   • 生产力是社会存在和发展的物质基础
   • 生产力决定生产关系的性质
   • 生产力是社会进步的根本内容
2. 社会基本矛盾特别是生产力和生产关系的矛盾，决定着社会中其他矛盾的存在和发展
   • 生产力和生产关系的矛盾决定经济基础和上层建筑的矛盾的产生和发展
   • 经济基础和上层建筑的矛盾也会影响和制约生产力和生产关系的矛盾
3. 社会基本矛盾具有不同的表现形式和解决方式
   • 社会形态改变：革命
   • 统一社会形态的发展：改革

社会主要矛盾：不同于基本矛盾，会不断向下变化，是基本矛盾的体现

• 社会主要矛盾双方的内容发生一定变化
• 矛盾的地位发生变化

¶3.2.2 阶级斗争、社会革命在社会发展中的作用

• 阶级斗争是社会基本矛盾在阶级社会中的表现
• 社会革命是社会基本矛盾所引起的广泛而深刻的社会变革的统称

阶级斗争

• 是阶级社会发展的直接动力
• 根源于阶级之间物质利益的根本对立，根源于社会经济关系的冲突
• 作用表现在社会形态的更替
• 受到一定社会历史条件的制约

社会革命

• 根源于社会基本矛盾的尖锐化，需要客观和主观条件
• 实现社会形态更替的重要手段和决定性环节

改革

• 为了解决社会基本矛盾而对生产关系和上层建筑进行的深刻的改变和革新
• 社会制度的自我调整和完善
• 量变和部分质变

¶3.2.3 科学技术在社会发展中的作用

科技革命是推动经济和社会发展的强大杠杆

• 对生产方式产生了深刻影响。

  • 改变了社会生产力的构成要素（使劳动力结构向着智能化趋势发展）
  • 改变了人们的劳动形式（由机械自动化走向智能自动化、由局部自动化走向大系统管理和控制自动化的根本性变革）
  • 改变了社会经济结构，特别是导致产业结构发生变革。（第三产业人数比例增长）

• 对生活方式产生了巨大影响

• 促进了思维方式的变革

¶3.2.3 文化在社会发展中的作用

文化是推动社会发展的重要力量，为社会发展提供：思想指引、精神动力、凝聚力量

¶3.3 人民群众在历史发展中的作用

¶3.3.1 人民群众是历史的创造者

唯物史观与唯心史观的对立，在历史创造者问题上表现为群众史观（唯物史观）与英雄史观（唯心史观）的对立。

群众史观并不否认英雄在历史上的重要作用。ta们顺应了历史发展的规律，反映人民群众的愿望和要求，加速历史的进程，无法改变其根本方向

唯物史观：

• 立足于现实的人及其本质来把握历史的创造者
• 立足于整体的社会历史过程来探究谁是历史的创造者
• 唯物史观从社会历史发展的必然性入手来考察和说明谁是历史的创造者
• 唯物史观从人与历史关系的不同层次上考察谁是历史的创造者

人民群众在创造历史过程中的决定作用：

• 人民群众是社会历史的主体，是历史的创造者。
• 人民群众是社会物质财富的创造者（物质生产是基础，群众是生产者）
• 人民群众是社会精神财富的创造者（虽然常常由杰出的知识分子和艺术家集中体现，但其最终源泉依然是人民群众的社会实践。）
• 人民群众是社会变革的决定力量（阶级斗争的主力、社会革命的根本动力）

¶4 资本主义的本质及规律

¶4.1 商品经济和价值规律

¶4.1.1 商品经济的形成和发展

自然经济：产的目的是直接满足生产者个人或经济单位的需要

• 原始社会、奴隶社会、封建社会，因为生产力水平很低，社会分工极不发达

商品经济：以交换为目的而进行生产的经济形式

• 产生的历史条件：
  • 存在社会分工（前提）
  • 生产资料和劳动产品属于不同的所有者（决定性）

商品的二因素：

• 二因素：
• 使用价值（自然属性，客观、具体、商品价值的物质承载）
• 价值（社会属性，人脑力和体力的耗费，是由社会必要的劳动时间而非劳动者实际的劳动时间决定的）

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flowchart TD
    A[一个物品存在]:::green --> B{是否有用}:::green
    B -->|是| C{是否人类劳动的产物}:::green
    B -->|否| D[无用物]:::green
    C -->|是| E{是否为了交换而生产}:::green
    C -->|否| F[自然物（如空气）<br>有使用价值，无价值]:::green
    E -->|是| G[商品<br>有使用价值、价值]:::green
    E -->|否| H[自用品<br>有使用价值，无价值]:::green

    classDef green fill:#e6ffe6,stroke:#2db300,color:#006600,text-align:center
    class A,B,C,D,E,F,G,H green

商品的使用价值和价值之间是对立统一的关系：

• 对立性：

  • 商品的使用价值和价值是相互排斥的，生产者关心价值而不是使用价值，将使用价值让渡给购买者，才能取得价值

• 统一性：

  • 作为商品，必须同时具有使用价值和价值两个因素
  • 使用价值是价值的物质承担者，价值寓于使用价值之中

商品是劳动产品，生产商品的劳动具有二重性

• 具体劳动：创造商品的使用价值（例如种地）
• 抽象劳动：形成商品的价值（例如劳动了5小时）

劳动的二重性决定了商品的二因素：任何劳动，既是特殊的具体劳动，又是一般的抽象劳动

具体劳动和抽象劳动也是对立统一的关系：

• 两者不独立存在，在时间上和空间上统一的两个方面
• 两者反映劳动的不同属性，前者自然属性，后者社会属性。

商品价值量的决定

• 第一层面：核心尺度是“社会必要劳动时间”，而非“个别劳动时间”
• 第二层面：价值量与“劳动生产率”成反比
• 第三层面：价值量以“简单劳动”为尺度，复杂劳动可换算（自发计算，而非主动计算，产生数倍于简单劳动的价值）

¶4.1.2 价值规律及其作用

价值规律在市场配置资源过程中的作用表现在：

• 自发地调节生产资料和劳动力在社会各生产部门之间的比例
• 自发地刺激社会生产力的发展
• 自发地调节社会收入的分配

消极后果：

• 社会资源浪费
• 阻碍技术进步
• 收入两极分化

以私有制为基础的商品经济的基本矛盾：

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flowchart LR
A[商品<br>使用价值与价值的矛盾]-->|根源于|B[私人劳动与社会劳动的矛盾]
C[生产商品<br>具体劳动和抽象劳动的矛盾]-->|根源于|B
B-->|构成|D[商品经济的基本矛盾]
classDef green fill:#e6ffe6,stroke:#2db300,color:#006600,text-align:center
    class A,B,C,D,E,F,G,H green

• 理解：在私有制商品经济中，每个人的劳动表面上是为自己干的、独立的私人劳动，但本质上又是互相联系、 为社会生产的社会劳动。这两者之间存在着深刻的矛盾。这个矛盾需要通过市场交换来临时解决，但又因为解决得不彻底而不断引发新的矛盾，从而推动着整个商品经济的运行、发展乃至危机

私人劳动和社会劳动的矛盾构成私有制基础上商品经济的基本矛盾

• 决定着商品经济的本质及发展过程
• 是商品经济其他一切矛盾的基础
• 决定着商品生产者的命运

¶4.2 资本主义经济制度

¶4.2.2 劳动力成为商品与货币转化为资本

G代表货币，W代表商品

代表货币的货币：W-G-W

代表资本的货币：G-W-G'

劳动力：人的劳动能力，人的脑力和体力的总和，其成为商品的基本条件：

• 劳动者在法律上是自由人，能够把自己的劳动力当作自己的商品来支配；
• 劳动者没有任何生产资料，没有生活资料来源，因而不得不依靠出卖劳动力为生。

劳动力的价值：（生产、发展、维持和延续劳动力所必需的生活必需品的价值决定的）

• 维持劳动者本人生存所必需的生活资料的价值；
• 维持劳动者家属的生存所必需的生活资料的价值;
• 劳动者接受教育和训练所支出的费用。
• （通俗地讲，就是工人的“饭钱、房租、衣食住行、养家糊口”等费用的总和。）

劳动力商品的特点：

• 使用价值是价值的源泉，创造新的大于劳动力本身价值价值，而且这个新的价值比劳动力本身的价值更大。（因此产生了剩余价值）
• 因此：货币所有者购买到劳动力以后，在消费过程中，不仅能够收回他在购买这种特殊商品时支付的价值，还能得到一个增殖的价值即剩余价值。（为什么资本能够盈利）

资本是能够带来剩余价值的价值。剩余价值是由雇佣工人的剩余劳动创造的。

¶4.2.3 生产剩余价值是资本主义生产方式的绝对规律

资本主义生产过程具有二重性，为以下两者的统一：

• 生产物质资料的劳动过程；
• 生产剩余价值的过程

雇佣工人的劳动分为两部分：

• 必要劳动，用于再生产劳动力的价值
• 剩余劳动，用于无偿地为资本家生产剩余价值。

不变资本与可变资本： p211

• 不变资本是以生产资料形态存在的资本

  生产资料的价值通过工人的具体劳动被转移到新产品中，其转移的价值量不会大于它原有的价值量。（只转移，不增值）

• 可变资本是用来购买劳动力的那部分资本

  可变资本的价值在生产过程中不是被转移到新产品中去，而是由工人的劳动再生产出来。

要确定资本家对工人的剥削程度，就应该用剩余价值和雇佣劳动者的可变资本相比，而不应该把它去同全部资本相比

¶4.2.3.2 剩余价值生产的两种方法

绝对剩余价值生产：劳动时间不变，延长工作日长度/提高劳动强度

相对剩余价值生产：指在工作日长度不变的条件下，通过缩短必要劳动时间而相对延长剩余劳动时间所生产的剩余价值（提高社会劳动生产率）

¶4.2.3.3 资本积累

• 资本积累：剩余价值的资本化

• 资本积累的源泉是剩余价值

• 资本积累规模的大小取决于

  • 资本家对工人的剥削程度
  • 劳动生产率的高低
  • 所用资本和所费资本之间的差额
  • 资本家预付资本的大小。

• 导致财富占有两极分化、失业现象

¶4.2.4 资本主义的基本矛盾与经济危机

资本主义基本矛盾：p225

• 生产社会化和生产资料资本主义私人占有之间的矛盾，是资本主义的基本矛盾。

• 在现实中主要表现为两大具体矛盾：

  • 单个企业内部生产的有组织性和整个社会生产的无政府状态之间的矛盾。
  • 资本主义生产无限扩大的趋势与劳动人民有支付能力的需求相对缩小之间的矛盾。

资本主义经济危机： p226

• 本质特征：（相对）生产过剩

  这种过剩是相对过剩，即相对于劳动人民有支付能力的需求，而不是相对于劳动人民的实际需要

¶5 资本主义的发展及其趋势

¶5.1 垄断资本主义的形成与发展

垄断原因：

1. 当生产集中发展到相当高的程度，极少数企业就会联合起来，操纵和控制本部门的生产和销售，实行垄断，以获得高额利润
2. 企业规模巨大，形成对竞争的限制，也会产生垄断
3. 激烈的竞争给竞争各方带来的损失越来越严重，为了避免两败俱伤，企业之间会达成妥协，联合起来，实行垄断

垄断与竞争关系：在自由竞争中形成的，是作为自由竞争的对立面产生的。但是，垄断并不能消除竞争，反而使竞争变得更加复杂和激烈：

1. 垄断没有消除产生竞争的经济条件
2. 垄断必须通过竞争来维持
3. 任何垄断组织都不可能把包罗万象的社会生产全部包下来，使竞争更加激烈

垄断价格既不能增加也不能减少整个社会所生产的价值总量，它只是对商品价值和剩余价值作了有利于垄断资本的再分配。

国家垄断资本主义：国家垄断资本主义是国家政权和私人垄断资本融合在一起的垄断资本主义。

• 国家所有并直接经营企业
• 国家与私人共有、合营企业
• 国家通过多种形式参与私人垄断资本的再生产过程
• 宏观调节
• 微观规制

经济全球化的表现：生产全球化（国际分工）、贸易全球化、金融全球化

经济全球化的动因：

• 科学技术的进步和生产力的发展为经济全球化提供了坚实的物质基础和根本的推动力。（特别是信息革命）
• 跨国公司的发展为经济全球化提供了适宜的企业组织形式。（利用各地的优势组织生产）
• 各国经济体制的变革和国际经济组织的发展是经济全球化的体制与组织保障。

¶5.3资本主义的历史地位

¶5.3.1 历史地位

与封建社会相比，资本主义显示了巨大的历史进步性

1. 资本主义将科学技术转变为强大的生产力
2. 资本追求剩余价值的内在动力和竞争的外在压力推动了社会生产力的迅速发展
3. 资本主义的意识形态和政治制度动了社会生产力的迅速发展，促进了社会进步

局限性

1. 资本主义的基本矛盾阻碍社会生产力的发展
2. 财富占有两极分化，引发经济危机
3. 资产阶级支配和控制资本主义经济和政治的发展和运行，不断激化社会矛盾和冲突

¶5.3.2被替代的历史必然性

1. 资本主义基本矛盾随发展不断显现
2. 资本积累推动资本主义基本矛盾不断激化并最终否定资本主义自身
3. 国家垄断资本主义是资本社会化的更高形式，将成为社会主义的前奏
4. 资本主义社会存在着资产阶级和无产阶级两大阶级之间的矛盾和斗争

¶6 社会主义的发展及其规律

¶6.1 社会主义五百年的历史进程

¶6.1.1社会主义从空想到科学

空想社会主义发展阶段：

• 16-17世纪的早期空想社会主义
• 18世纪的空想平均共产主义
• 19世纪初期批判的空想社会主义

开山之作：1516 年托马斯·莫尔所的《乌托邦》

空想社会主义理论的意义：

1. 对资本主义旧制度的辛辣批判，包含重要见解
2. 反映了早期无产阶级迫切要求改造现存社会、建立理想的新社会的愿望
3. 空想社会主义“提供了启发工人觉悟的极为宝责的祠料”，但是不具备科学的和实践的品格。

空想社会主义的局限性：

1. 没有指出社会发展的真正出路。没有阐明资本主义雇佣制的本质
2. 没有发现资本主义发展规律
3. 没有找到成为新社会的创造者的社会力量

科学社会主义：唯物史观和剩余价值学说

科学社会主义>空想社会主义

• 科学理论
• 经济根源
• 揭示资本主义基本矛盾
• 依靠人民作为埋葬力量
• 提供路径指引、实现方式

¶6.3 在实践中探索社会主义的发展规律

社会主义建设过程的长期性

1. 生产力发展状况的制约
2. 经济基础和上层建筑发展状况的制约。
3. 国际环境的严峻挑战
4. 马克思主义执政党对社会主义发展道路的探索和对社会主义建设规律的认识，需要一个长期的过程。

¶7 共产主义崇高理想及其最终实现

¶7.1 展望未来共产主义新社会

1. 预见未来社会的方法论原则

   1. 在揭示人类社会发展一般规律的基础上指明社会发展的方向
   2. 在剖析资本主义社会旧世界中阐发未来新世界的特点
   3. 在社会主义社会发展中不断深化对未来共产主义社会的认识
   4. 立足于揭示未来社会的一般特征，而不作详尽的细节描绘

2. 共产主义社会的基本特征

   1. 物质财富极大丰富，消费资料按需分配
   2. 社会关系高度和谐，人们精神境界极大提高
      1. 阶级将会消亡
      2. 国家将会消亡（政府不会）
      3. 战争将不复存在。
      4. 由于社会生产力的巨大发展，工业与农业、城市与乡村、脑力劳动与体力劳动的差别即“三大差别”必将归于消失。
      5. 不仅社会是和谐的，而且社会与自然之间也将达成和谐。
      6. 人们的精神境界将得到极大提高。
   3. 实现每个人自由而全面的发展，人类从必然王国向自由王国的飞跃

实现人的自由而全面的发展，是马克思主义追求的根本价值目标也是共产主义社会的根本特征。

1. 旧式分工的消除为人的自由而全面的发展创造条件
2. 自由时间的延长为人的自由而全面的发展提供了广阔的前景
3. 劳动不再是单纯的谋生手段，而成为“生活的第一需要”

N/A

02 数学归纳法

1. 欧拉公式
2. 找到循环不变量

03 算法分析

¶符号

符号$O$：$f(n)=O(g(n))$，复杂性$f(n)\leq g(n)$，$\exists c,N, \forall n\geq N,g(n)\leq cf(n)\Rightarrow g(n)=O(f(n))$

符号$\Omega$：$f(n)=\Omega(g(n))$，复杂性$f(n)\geq g(n)$，$g(n)=O(f(n))\Rightarrow f(n)=\Omega(g(n))$

符号$\Theta$：$f(n)=\Theta(g(n))$，复杂性$f(n)=g(n)$，$f(n)=O(g(n))\wedge g(n)=O(f(n))\Rightarrow f(n)=\Theta(g(n))$

符号$o$：$f(n)=o(g(n))$，复杂性$f(n)< g(n)$，$\forall c,\exists N>0,s.t\ \forall n \geq N,f(n)\leq cg(n)\Rightarrow f(n)=o(g(n))$

¶常用式子

$\sum\limits_{i=1}^n \lfloor\log i\rfloor=(n+1)\lfloor(\log n)\rfloor-2^{\lfloor\log n\rfloor+1}+2=\Theta(n\log n)$

$e=\lim\limits_{n\to\infty}(1+\dfrac 1n)^n=1+\dfrac 1{1!}+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}+\cdots$

$\log{(n!)}=\Theta(n\log n)$

$\sum\limits_{j=1}^n \dfrac 1j=\ln n+\gamma+O(\dfrac1n),\gamma\approx0.577215$

$\sum\limits_{j=1}^n jc^j=\Theta(nc^n)$

¶递推式

¶线性齐次递推式

特征方程

¶分治问题

假设$a$个子问题，每个问题的规模是原始问题的$1/b$，组合各子问题的运行时间是$cn^k$，即

$T(n)=aT(n/b)+cn^k$

$T(n)=\begin{cases}O(n^{\log_ba})&a>b^k\O(n^k\log n)&a=b^k\O(n^k)&a<b^k\end{cases}$

¶Master Theorem

$T(n)=aT(n/c)+f(n)$

1. if $f(n)=O(n^{\log_ca-\epsilon})$ for some $\epsilon>0$, then $T(n)=\Theta(n^{\log_ca})$
2. if $f(n) = \Theta( n^{\log_ca} \cdot (\log n)^k ) $ for some$ k>=0$, then $T(n) = \Theta(n^{\log_ca} \cdot (\log n)^k )$
3. If $f(n)=W(n^{\log_ca+\epsilon}) $ for some $e>0$ and if $a\cdot f(n/c)\leq kf(n) $ for some constant $ k<1$ and all sufficiently large $n$, then $T(n)=\Theta(f(n))$

注：以上三种情况不是完整覆盖所有情况

¶涉及全部历史的递推关系

历史消除法

05 基于归纳的算法设计

1. 多项式求值

   $p_n(x)=xp_{n-1}(x)+a_0$

2. 寻找每个点的度都大于k的最大导出子图

   只要度数小于k的点都删掉，更新度数，无所谓删除顺序

3. 寻找一对一映射的子集

   删掉没有被映射的点

4. 社会名流问题

   不要从人的角度，从问题的角度。一个问题至少可以确定一个人不是社会名流，最后剩下的那一个人再验证一下是不是社会名流。

5. 轮廓问题

   分治法

6. 寻找最大连续子序列

   归纳假设：已知如何找到规模小于n的最大子序列，以及作为后缀的最大子序列。

7. 背包问题

   动态规划

06 序列和集合的算法

¶二分搜索

1. 基础二分搜索 O(log n)

2. 循环序列的二分搜索

   找到循环递增序列的最小元素

   若考虑$x_p,x_q$，若$x_p<x_q$，则最小元素就不可能在$x_p,x_q$之间

3. 二分搜索$a_i=i$

   考察$a_{\frac n2}$的值，考虑在前面还是在后面找

4. 重叠子序列问题

   若有上界，则二分搜索

   若无上界，则对i加倍直至找到合适的范围

5. 方程求解

   连续性，不断减少解存在的范围

6. 内插搜索 O(log log n)，但未必比二分搜索高效

¶排序

备注：

1. 插入部分可用二分搜索，那一部分复杂度可以降为$O(n\log n)$
2. 缺点：不是原地排序，复制所有的数很花时间
3. 非比较排序，k为不同数字的种类数
4. 非比较排序，m为桶数
5. 非比较排序，k为待排序的数字的位数

¶序列的秩

1. 查找最大/最小数

   可以通过分治法降低计算量，但无法减少计算量的数量级$O(n)$

2. 第k小的数

   使用类似快速排序的方法，平均$O(n)$，最坏$O(n\log n)$

¶数据压缩

1. 哈夫曼编码

¶字符串匹配

1. KMP算法

   对于查找的序列要构建next数组

2. BM算法

   1. 坏字符规则

      移动的位数=模式串出错的位置-坏字符在模式串中最后出现的位置

      要用一个表bc存储模式串中的字符和下标

   2. 好后缀规则

      类似KMP，前后颠倒，也可以预先计算

   执行两条规则中较大的那一个移动

¶序列比较

¶查找众数

此处众数指的是：出现次数超过一半

1. 蛮力查找

2. 排序算法

3. 找到中位数之后再验证

4. 高级算法

   i	X[i]	C（候选人）	M（计数器）	操作说明
   2	2	2	1 → 2	X[i] == C，M++
   3	1	2	2 → 1	X[i] ≠ C，M–
   4	1	2	1 → 0	X[i] ≠ C，M–
   5	1	1	0 → 1	M 为 0，换候选人为 X[i]=1，M=1
   6	2	1	1 → 0	X[i] ≠ C，M–
   7	2	2	0 → 1	M 为 0，换候选人为 X[i]=2，M=1

   找到候选人之后验证

5. 频繁元素

   找到出现最频繁的t个元素

   只有近似算法：规定k个计数器

   1. 有对应的计数器，则相应的计数器加1
   2. 没有相应的计数器，并且已有的计数器数量小于k，则为该数据分配一个新的计数器，其值设为1。
   3. 没有相应的计数器，并且已经有了k个计数器，则将所有的计数器数值减1，并删除值为0的计数器，新数据也被丢弃。

6. 最长递增序列

   1. 动态规划
   2. 维护一个tail数组（BIS）

07 图算法

¶DFS

DFS中的四种边：

1. 树边，第一次访问新节点，加入DFS树的边
2. 后退边，访问到了一个没有访问结束，仍在递归中的祖先节点
3. 前向边，访问到了一个已经访问结束的子孙节点
4. 交叉边，访问到了一个已经访问结束，但是既非祖先也非子孙的节点

有向图有有向闭链$\Leftrightarrow$G有一个后退边

¶拓扑排序

找到入度为0的点，标为已访问，并更新邻接表

¶单源最短路径

非循环有向图中，从v出发到达G中其他各顶点的最短路径

¶使用拓扑排序（只有能拓扑排序的图能用这个方式）

设v的标记是k，则标记小于k的不用考虑，都没有路径；大于k的用归纳法，$min(l_i)+1\ for\ i\ in\ curr.parents$

¶一般做法：Djikstra算法

要用一个Priority Queue来决定下一个顶点更新哪一个

¶全部最短路径：Floyd算法

边权可以是负值，但是不能有负权回路

使用三重循环

初始化把有连线的两顶点的距离设为连线的长度，没有的设为+inf

检查每一个顶点能不能作为另外两个顶点的中间节点，如果可以，更新最短路径

可以检测负环（如果运行两次之后有变化，则有负环）

¶传递闭包：Floyd-Warshell算法

¶最小代价生成树

Kruscal/Prim算法

前者边拓展+并查集，后者点拓展+贪心法

¶划分双联通分支：Tarjan法

关节点（割点）：删除后可以分离图的节点

双联通分支是没有关节点的分支，一个顶点可以在不同双联通分支内，但是一条边不行

寻找所有的割点：

使用一次DFS，更新时间戳和low值

¶划分强连通分支：Tarjan法

也可以用划分双联通分支类似的方法，判据有dfn的≥变成了==

¶匹配

匹配是边的一个集合，任意两条边没有公共的顶点

• 完美匹配：所有顶点都有匹配的匹配。
• 最大匹配：具有最大边数的匹配。
• 极大匹配：不可能再增加边数的匹配。

极大匹配未必是最大匹配。

1. 非常稠密图中的完美匹配
2. 偶图匹配

两者都是要通过交换来实现

¶在非常稠密的图中寻找哈密顿回路

任意两个顶点的度数只和≥n

08 几何算法

¶判断点是否在多边形内部

外部任意一点到此点连线与多边形又奇数个交点

有特殊情况

¶构造简单多边形

1. 考察包含所有点的大圆C，从圆形开始旋转扫描（有特例）
2. 从x坐标最大，y坐标最小的点开始扫描（也有特例）

¶求凸包

¶直接方法：延拓+递推 O(n^2^)

知道<n个点的凸包怎么求，然后尝试寻找包含第n个点的凸包

改进：加入新的点时，删去旧凸包内的点，把新点与旧凸包上的点连起来寻找支撑线，进而找到两个点与新点连起来，行程新的凸包

¶Gift Wrapping O(n^2^)

从极端点开始找支撑线，不是从小到大构造凸包，而是直接找到凸包的一部分

¶Graham扫描算法 O(n log n)

与gift wrapping有点像，但是并非直接找凸包的一部分，先固定x轴上的极端点$p_1$，然后计算$p_ip_1$与x轴的夹角，从小到大排序，然后再一个个加入凸包

¶最近点对

¶直接法 O(n^2^)

直接计算两点之间的距离，然后求最小值

¶分治法 O(n log^2^ n)->O(n log n)

如果只有两个点，可以直接取它们之间的距离

否则分为2组，分别取最小，并求交叉项的最小

交叉项也只要取部分的条带（宽度为2倍最小值）

如果在每次归并的时候也保留y坐标的大小关系，则可以降低为$O(n\log n)$

¶找交点

¶水平线段和垂直线段的交点

直接法$O(mn)$

扫描线技术$O((m+n)log(m+n)+R)$

¶线段交点

扫描线技术$O((2n+m)log(2n+m))$

扫描状态集合是动态几何，描述当前扫描线状态，在以下情况会发生改变：

1. 遇到新的线段
2. 现有线段结束
3. 两段线段交点

¶美术馆问题

¶多边形三角划分问题

¶若为单调多边形

扫描线算法三角划分

¶若为一般多边形

添加对角线除去转向点

对于split，merge和start有不同的处理方式

¶相交半平面问题

分治法$O(n\log n)$

¶两个凸多边形的交点

扫描线算法，扫描线只需记得4条边$O(n)$

¶Voronoi图

使用Fortune算法，一种扫描线算法。既规定了扫描线，又规定了海岸线（一系列抛物线，在海岸线之上不会再变了）

1. 基点事件

   扫描线经过一个基点时会产生一个基点事件

   插入一根新的抛物线

2. 左右两根抛物线相遇，中间那一根抛物线消失，形成新的Voronoi顶点

09 代数和数值算法

¶误差来源

1. 截断误差：泰勒展开截去部分
2. 大数吃小数：2^100^+1-2^100^=0
3. 稳定性：递推算法误差不断积累

¶求幂运算

1. 直接归纳法：$n^k=nn^{k-1},O(k)$
2. 二分归纳法：$n^k=(n^{\frac k2})^2,O(\log k)$

¶求最大公约数

辗转相除法

最大公倍数可由最大公约数得到

¶多项式乘法

分治法，同时可以把4优化为3，因为B+C=E-A-D

¶正整数乘法

n位数，$O(n^2)$

采用类似多项式乘法的分治法

¶矩阵乘法

也是类似前面的分治法$O(n^3)$，也可以用stassen算法作类似前面的优化$O(n^2.81)$

¶布尔矩阵乘法

不能用strassen算法优化，因为布尔运算没有定义减法

¶法一

预先构建所有可能的k维布尔内积，然后查表$O(n^3/\log n)$

¶法二

分解为A的列和B的行的乘积之和+查表$O(n^3/\log n)$

¶法三

n维向量加法表，然后分组$O(n^3/\log^2 n)$

¶矩阵链相乘

线性规划

一个m*n和一个n*k的矩阵相乘默认时间复杂度为$O(mnk)$

¶多项式乘法2

用函数上的点来表示多项式函数，先正向傅立叶变换，再逆向傅立叶变换

¶正向傅立叶变换

取的点中有相反数关系，减少一半计算量，然后再归纳计算（要引入复数）

¶逆向傅立叶变换

求矩阵的逆，为$[V(\omega)]^{-1}=\dfrac 1n V(\dfrac 1\omega)$

非线性方法求解

¶二分法

缺点是不能保证x的精度，可能y相差很少但是x相差很多

¶迭代法求根

就是董说的蛛网法，问题是能不能收敛

¶牛顿法

根据切线求下一个，性能依赖于x的选取

11 计算机不是万能的

¶课内的NPC问题

• 顶点覆盖问题

  设G=(V,E)是一个无向图，G的顶点覆盖是一个顶点集合，满足G中所有的边都至少和该

  集合中的一个顶点相关联。

  问题：给定无向图G=(V,E)和一个整数k，判定G是否有包含k个顶点的顶点覆盖。

• 支配集问题

  设G=(V,E) 是一个无向图，如果顶点集合D 满足，G 中的所有顶点要么在D 中要么与D

  中至少一个顶点相邻，则称D为支配集。

  问题：给定无向图G=(V,E)和整数k，判定G中是否有一个包含≤k个顶点的支配集。

• 3SAT问题

  3SAT问题是一般SAT问题的简化，3SAT的实例是指每个子句中恰好含有3个变量的布尔

  表达式。

  问题：给定以CNF 形式出现并且每个子句恰好含有3 个变量的布尔表达式，判定其是否可满足。

• 团问题

  给定无向图G=(V,E)，G中的一个团C是G的一个子图，满足C中的任何两个顶点均相

  邻，换句话说，团即完全子图。

  问题：给定无向图G=(V,E)和整数k，判定G是否包含一个大小≥k的团。

• 3着色问题

  设G=(V,E)是无向图，G的有效着色是指对所有顶点的颜色指派，使得每个顶点被指派一

  种颜色并且相邻顶点不被指派成相同颜色。

  问题：给定无向图G=(V,E)，判定G是否可以被3种颜色着色。

这段文字写于地频线结束之后一天的傍晚，我坐在包玉刚图书馆3楼的沙发上。这对我来说更像是一个寻常的傍晚。于我而言，地频线是一段叛逆，因此在一切尘埃落定之后，显得竟然如此不真实。昨晚4点，已闻啼鸟，我回寝室，最后一次把阿姨叫醒开门，最后一次说“对不起，活动结束了，这是最后一次晚归了。”我一个人坐在自己的位置上，把除了文件传输助手的71个置顶逐一取消，翻找了好久自己以前的头像。想到bhy说“你敢想象嘛，第二天，菁菁堂会一点痕迹也没有。”天蒙蒙亮了，恍惚中我觉得或许此刻只是因为被抛起的失重惊醒，翻个身又该睡了。

昨晚刚刚从大连飞回来，这是上交大第28届歌手大赛——地频线结束之后的第一次旅行，与导演组一道。觉得对于这一段经历，还需要写一点什么。

去年12月，自从成为歌手大赛的大岛之后，我就已经开始期待被抛起来的一刻了——只是希望尘埃落定。那时的我，急躁、不知所措。我始终认为自己做不了一个领导者——我做不了乔布斯，我只能做沃兹尼亚克，即使如今也依旧深信如此。但因种种原因我最终被推到了这个位置。我一直都战战兢兢：我参与这个活动只是因为自己的体验主义，只是在尝试偏离自己原本生活方式，可是我不敢告诉别人我的想法，我认为它很自私，怎么能把把大家投入这么多精力的一件事情仅仅视作自己对“陌生体验感”的追求。我害怕我做不好：导演组的各位都专于自己负责的部分，我害怕自己不学无术，因此无所事事，爱莫能助，我怎能成为名义上的“大岛”？

说来奇怪，复赛结束之后，我反而比决赛结束之后更有一种释然的感觉。决赛之前的我，反而有种高三之感——同样日夜与一群人为了一个共同目标做事；同样发着疯，笑点很低，苦中作乐；同样希望尽快尘埃落定，又不愿结束。待到决赛中与结束之后，甚至在决赛现场彩排的那个周末，我更深刻的感受反而是不真实感：为了地频线，暂时地放下了很多的东西：浅层的是自己的学业与日程，更深层的是自己的生活方式、处事的习惯——尤其是我的思维，人在过度疲劳之时，是真的会不想动一点脑子、不想听一点声音、不想见一点东西、不想和一个人交流的，此时只盼一片白茫茫而又虚无的清净。活动结束之后便一头扎入真实的学业之海——直至一周的备考和随后的期中考试之后，当天又与导演组一道前去机场，奔向大连的更加真实的海。

在地频线中，获得了很多的关系——这是除了陌生的体验感之外，我最想从地频线中得到的东西。但它也同样自私，我不敢告诉别人，即使它听上去又是如此正当。但结束之后，我可以纵情享受这些关系，这些联结了：我们导演组很早就相约大连，终于在五一实现——一直叫嚷着想吃大连的海鲜，真正吃到口中，那种实在感竟然有些奇怪。通过地频线，也与许多工作人员和歌手相熟识，其中不乏一些留学生——我很享受与来自孟加拉国的92%e人Mon聊天，通过他的眼睛，我看到了不一样的，但是同样有趣的世界。

地频线是与我寻常生活的巨大的偏离，日后怕是不会再有吧？彩色的记忆变得黑白，对此的思绪也逐渐混沌，但这段故事从时间之筛中留下，已在心中扎根。

¶第九章 集合

¶9.1 集合的概念和表示方法

$a\in A, a\notin A$

¶9.2 集合间的关系和特殊集合

$=, \subset,\subseteq,\supset,\supseteq$

1. $A=B\Leftrightarrow A\subseteq B\wedge B\subseteq A$

2. $A\subseteq A$

   $(A\subseteq B \wedge B\subseteq C)\Rightarrow A\subseteq C$

3. $A\subset B：A是B的真子集$

   $B\subset A：B是A的真超集合$

¶9.3 集合的基本运算

1. $对称差：A\oplus B=(A-B)\cup(B-A)$
2. $广义并、广义交：规定\cup \emptyset = \emptyset, \cap \emptyset 无意义$
3. $幂集：P(A)={x|x\subseteq A}$
4. $笛卡尔积：A\times B={<x,y>|x\in A\wedge y\in B}(需要明确<x_1,x_2,x_3>=<<x_1,x_2>x_3>,<x_1,x_2,x_3>\ne <x_1,<x_2,x_3>>)$

¶9.5 集合运算的性质与证明

1. $A\subseteq B\Leftrightarrow P(A)\subseteq P(B)$

   $P(A)\in P(B)\Leftrightarrow A\in B$

2. $P(A)\cap P(B)=P(A\cap B)$

   $P(A)\cup P(B)\subseteq P(A\cup B)$

   $P(A-B)\subseteq (P(A)-P(B))\cup{\emptyset}$

   $传递集合：A的任意元素的元素是A的元素$

   $A是传递集合\Rightarrow P(A)是传递集合$

3. $A\subseteq B\Rightarrow \cup A\subseteq \cup B$

   $A\subseteq B\Rightarrow \cap B \subseteq \cap A$

   $\cup(A\cup B)=(\cup A)\cup(\cup B)$

   $\cap(A\cup B)=(\cap A)\cap(\cap B)$

   $\cup(P(A))=A$

¶9.6 有限集合的基数

1. 记作#(A)=n, |A|=n, card(A)=n

¶第十章 关系

¶10.1 二元关系

二元关系是有序对的集合

对于A到B得一个关系R，可以定义：

1. $定义域dom(R)={x|(\exists y)(<x,y>\in R)}$
2. $值域ran(R)={y|(\exists x)(<x,y>\in R)}$
3. $域fld(R)=dom(R)\cup ran(R)$

¶10.2 关系矩阵和关系图

1. 关系矩阵：$<x_i,y_j>\in R\Rightarrow r_{ij}=1，其余为0$
2. 关系图：有关系则连线（有向图）

¶10.3 关系的逆、合成、限制和象

逆：$R^{-1}={<x,y>|<y,x>\in R}$

合成：

$S\circ R={<x,y>|(\exists z)(<x,z>\in R\wedge<z,y>\in S)}$（满足结合律不满足交换律）

限制：$R\upharpoonright A={<x,y>|<x,y>\in R\wedge x\in A}$

象：$R[A]={y|(\exists x)(x\in A\wedge<x,y>\in R}$

$关系矩阵：M(S\circ R)=M(R)\cdot M(S)$

¶10.4 关系的性质

1. $R在A上是自反的\Leftrightarrow (\forall x)(x\in A\to xRx)$

   $R在A上是非自反的\Leftrightarrow(\forall x)(x\in A\to x\not{R}x)$

2. $对称：\forall x,y\in A，若xRy\to yRx$

   $反对称：(xRy\wedge yRx)\to (x=y)$

3. $传递：\forall x,y,z\in A,(xRy\wedge yRx)\to xRz$

¶10.5 关系的闭包

1. $设A是有限集合，R是A上的关系，若存在自然数s和t,s<t,使得R^s=R^t，则$

   1. $R^{s+k}=R^{t+k}$
   2. $R^{s+kp+i}=R^{s+i}，k和i为自然数，p=t-s$
   3. $B={R^0,R^1,\cdots,R^{t-1}}，则\forall q\in N^*,R^q\in B$

2. $闭包:若非空集合A上的关系R，在A上有另一个关系R'满足：$

   1. $R'是自反/对称/传递的$
   2. $R\subseteq R'$
   3. $对A上任何自反/对称/传递的关系R'',R\subseteq R''\to R'\subseteq R''$

   $则称关系R'为R的自反/对称/传递闭包，记作r(R)/s(R)/t(R)$

   传递闭包求法：Warshall算法

¶10.6 等价关系和划分

1. $等价关系：自反、对称、传递$
2. $由等价关系R诱导出来的A的划分记作\pi_R$
3. $诱导出划分\pi的等价关系记为R_{\pi}$

¶10.7 相容关系与覆盖

1. $相容关系：自反、对称$
2. $最大相容类：非空子集上的关系R，一个相容类不是任何相容类的真子集，记作C_R$
3. $最大相容类的集合是A的一个覆盖，称为A的完全覆盖，记作C_R(A),C_R(A)唯一$

¶10.8 偏序关系

1. $偏序关系自反、反对称、传递$
2. $拟序关系非自反、传递（能推出反对称）$
3. $偏序关系（弱偏序关系、半序关系）可以取等，拟序关系（强偏序关系）不能取等$
4. $哈斯图$
5. $若任意两个均可比，则为全序关系$
6. $良序集在全序集的基础上还要有最小值$

¶第十一章 函数

¶11.1 函数和选择公理

函数：单值性

象——x对应的y的集合

完全原象——y对应的x的集合

dom(f)定义域

ran(f)值域

单射、满射、双射

¶11.2 函数的合成与逆

函数的逆不一定是函数

$f:A\to B,g:B\to A,若g\circ f=I_A,则称g为f的左逆，同理右逆$

存在左逆，当且仅当f单射

存在右逆，当且仅当f满射

两者均存在，当且仅当f双射，此时左逆等于右逆

¶第一章 随机事件和概率

¶1.1 随机事件及其运算

1. 区分概念：样本点、样本空间
2. 运算规律：
   1. $交换律：A\cup B=B\cup A,AB=BA$
   2. $结合律：(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C),(AB)C=A(BC)$
   3. $分配律：A\cup(BC)=(A\cup B)(A\cup C),A(B\cup C)=(AB)\cup (AC)$
   4. $对偶律(De Morgan)：\overline{A\cup B}=\bar A\bar B,\overline{AB}=\bar A\cup\bar B$

¶1.2 随机事件的概率

1. 概率三公理：
   1. $\forall A, P(A)\geq0$
   2. $对于必然事件\Omega, P(\Omega)=1$
   3. $对于两两互不相容的事件A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots,即A_iA_j=\empty,i\neq j,i,i=1,2,\cdots,有P(\bigcup\limits_{i=1}^{+\infty})=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}P(A_i)$
2. 概率性质：
   1. $P(\empty)=0$
   2. $设A_1,A_2,\cdots,A_n满足A_iA_j=\empty,i\neq j,i,j=1,2,\cdots,n,则有P(\bigcup\limits_{i=1}^nA_i)=\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)$
   3. $P(\bar A)=1-P(A)$
   4. $A\subset B\Rightarrow P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)\geq P(A)$
   5. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

¶1.3 条件概率

1. $P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}$
2. $若B_1, B_2,\cdots,B_n为样本空间\Omega的一个划分，且P(B_i)>0(i = 1,2,\cdots,n)则对任一事件A，有P(A)=\sum\limits_{i=1}^nP(B_i)P(A|B_i)$
3. $Bayes公式：若B_1, B_2,\cdots,B_n为样本空间\Omega的一个划分，且P(B_i)>0(i = 1,2,\cdots,n)则对任一事件A，有P(B_i|A)=\dfrac{P(AB_i)}{P(A)}=\dfrac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum\limits_{i=1}^nP(B_i)P(A|B_i)}$

¶1.4 随机事件的独立性

1. $P(AB)=P(A)P(B)则A，B独立$

2. $P(A_1A_2)=P(A_1)P(A_2)---(1)$

   $P(A_2A_3)=P(A_2)P(A_3)---(2)$

   $P(A_3A_1)=P(A_3)P(A_1)---(3)$

   $P(A_2A_2A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)---(4)$

   $(1)(2)(3)成立则A_1,A_2,A_3两两独立，(1)(2)(3)(4)都成立则A_1,A_2,A_3相互独立$

¶第二章 随机变量及其分布

¶2.1 随机变量及其分布函数

1. $概率分布函数F(x)=P(X\leq x)$

¶2.2 离散随机变量及其分布律

$P(X=x_k)=p_k,k=1,2\cdots称为X的分布律，有性质：$

1. $p_k\geq0,k=1,2,\cdots,$
2. $\sum\limits p_k=1$

¶1. 0-1 分布

$P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1$

¶2. 二项分布 X~B(n,p)

1. 可独立重复进行n次
2. 每次实验结果只有两个

称n重Bernoulli试验，Bernoulli概型

$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},k=0,1,\cdots,n$

¶3. 泊松分布 X~P(λ)

$Poisson定理：\lim\limits_{n\to\infty}np_n=\lambda>0，则\lim\limits_{n\to\infty}C_n^kp_n^k(1-p_n)^{n-k}=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$

$P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}$

¶2.3 连续型随机变量及其概率密度

$概率分布函数F(x)-=\int\limits_{-\infty}^xf(t)dt,-\infty<x<\infty,其中f(x)是概率密度函数$

$性质$

1. $f(x)\geq0$
2. $\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)dx=F(+\infty)=1$
3. $f(x)=F'(x)$
4. $P(x_0<X\leq x_0+\Delta x)\approx f(x_0)\Delta x$
5. $P(x=a)=0$

¶1. 均匀分布 X～U(a,b)

$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{b-a},&a<x<b\0,&其他\end{cases}$

$F(x)=\begin{cases}0,&x<a,\\dfrac{x-a}{b-a},&a\leq x<b,\1,&x\geq b.\end{cases}$

¶2. 指数分布 X~E(λ)

$f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x>0,\0,&x\leq 0,\end{cases}$

$F(x)=\begin{cases}1-e^{-\lambda x},&x>0,\0,&x\leq0\end{cases}$

¶3. 正态分布 X～N($\mu,\sigma^2$)

$\phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}},-\infty<x<+\infty$

$\Phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^xe^{-\frac{t^2}2}dt,-\infty<x<+\infty$

$\phi(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}，-\infty<x<+\infty$

$\Phi(x)=\dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty<x\infty$

¶2.4 随机变量函数的分布

$已知X的概率密度函数为f_X(x)，设y=g(x),Y=g(X)的分布函数为f_X(g^{-1}(y))\cdot|\dfrac{dx}{dy}|$

¶第三章 多维随机变量及其分布

¶3.1 二维随机变量及其分布

1. $F(x,y)=P({X\leq x}\cap{Y\leq y})=P(X\leq x,Y\leq y)$

2. 性质：

   1. $0\leq F(x,y)\leq 1,F(-\infty,y) = 0,F(x,-\infty) = 0,F(-\infty,-\infty)=0,F(+\infty,+\infty)=1$
   2. $以x或y为主元，都是单调不减函数$
   3. $以x或y为主元，都是右连续函数$
   4. $\forall a<b,c<d,F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)=P(a<x\leq b,c<Y\leq d)\geq 0$

3. $边缘分布函数F_X(x)=F(x,+\infty),F_Y(y)=F(+\infty,y)$

¶二维离散型随机变量

性质：

1. $p_{ij}\geq 0$
2. $\sum\limits_i\sum\limits_j p_{ij}=1$

¶二维连续型随机变量

性质：

1. $f(x,y)\geq 0$
2. $\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=1$
3. $P((X,Y)\in D)=\iint\limits_D f(x,y)dxdy = 1$
4. $在f(x,y)的连续点处，有\dfrac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$

¶二维均匀分布

$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{1}{G的面积}，&(x,y)\in G\0,&其他\end{cases}$

¶二维正态分布 $(X,Y)\sim N(\mu_1,\sigma_1^2;\mu_2,\sigma_2^2;\rho)$

$f(x,y)=\dfrac1{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}exp\bigg{-\dfrac1{2(1-p^2)}\Big [\dfrac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\dfrac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\dfrac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\Big]\bigg}$

¶3.2 二维随机变量的条件分布

1. $P(X=x_i|Y=y_j)=\dfrac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\dfrac{p_{ij}}{P_{\cdot j}}$

2. $P(X=x_i)=\sum\limits_j P(Y=y_j)P(X=x_i|Y=y_j)$

3. $f_{X|Y}(x|y)=\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}$

   $F_{X|Y}(x|y)=\int\limits_{-\infty}^x\dfrac{f(u,y)}{f_Y(y)}du$

¶3.3 随机变量的独立性

1. $X与Y相互独立\Leftrightarrow F(x,y)=F_X(x)F_y(y);f_X(x)f_Y(y)$
2. $设(X,Y)为二维离散型随机变量，联合分布律为P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij},则X，Y相互独立的充要条件为：P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j),若连续型，则f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

¶第四章 随机变量的数字特征

¶4.1 数学期望

1. $离散：E(X)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}x_kp_k$

   $连续：E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)$

2. $数学期望的性质$

   1. $数学期望存在\Leftrightarrow E|X|<+\infty$
   2. $X\leq Y,则E(X)\leq E(Y)$
   3. $E(C)=0$
   4. $E(CX)=CE(X)$
   5. $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
   6. $若X，Y独立，则E(XY)=E(X)\cdot E(Y)$

¶4.2 方差

1. $D(X)=E{[X-E(X)]^2}=E(X^2)-[E(X)]^2$

2. $方差的性质：$

   1. $方差存在\Leftrightarrow E(X^2)<+\infty$
   2. $C为常数\Rightarrow D(C)=0$
   3. $C为常数，则D(CX)=C^2D(X)$
   4. $X和Y独立且方差都存在，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)$
   5. $D(X)\leq E[(X-C)^2]$
   6. $D(X)=0\Leftrightarrow \exists C,s.t.P(X=C)=1, C=E(X)$

¶4.3 重要随机变量的数学期望和方差

$$
P(X=k)=\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{m}},
$$

max$|0, n-N+M|\le k\le min|n, M | $ | $n\frac{M}{N}$ |
| 负二项分布 (Pascal 分布) | $P(X=k)=C_{k-1}^{r-1}p^{r}(1-p)^{k-r}, k=r, r+1, \cdots, 0<p<1$ | $\frac{r}{p}$ | $\frac{r(1-p)}{p^{2}}$ |
| 均匀分布$U(a,b)$ | $f(x)=\left {\begin{matrix} \frac{1}{b-a}, &a<x<b\ 0, &其他\end{matrix} \right.$ | $\frac{a+b}{2}$ | $\frac{(b-a)^{2}}{12}$ |
| 指数分布$E(\lambda)$ | $f(x)=\left {\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x}, &x>0\ 0, \end{matrix} \right.$其他 | $\frac{1}{\lambda}$ | $\frac{1}{\lambda^{2}}$ |
| 正态分布$N(\mu, \sigma^{2})$ | $f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}, -\infty <x<+\infty, -\infty <\mu <+\infty, \sigma >0$ | $\mu$ | $\sigma^{2}$ |

¶4.4 协方差和相关系数

1. $cov(X,Y)=E(XY)-E(
   X)E(Y)$
2. $\rho_{XY}=\dfrac{cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$
3. $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm2cov(X,Y)$
4. $协方差的性质：$
   1. $cov(X,Y)=cov(Y,X)$
   2. $cov(aX,bY)=abcov(X,Y)$
   3. $cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z)$
   4. $|cov(X,Y)|=\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}$
5. $相关系数的性质$
   1. $|\rho_{XY}|\leq 1$
6. $不相关的命题等价：$
   1. $X和Y不相关$
   2. $\rho_{XY}=0$
   3. $cov(X,Y)=0$
   4. $E(XY)=E(X)E(Y)$
   5. $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$
   6. $D(X+Y)=D(X-Y)$

¶4.5 随机变量的高阶矩

$k阶原点矩：E(|X|^k)$

$k阶中心矩：E{[X-E(X)]^k}$

$k+l阶混合原点矩：E(|X|^k|Y|^l)$

$k+l阶混合中心矩：E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l}$

¶第五章 大数定律和中心极限定理

¶5.1 预备知识

1. $Chebyshev不等式：P(|X-\mu|\geq \epsilon)\leq \dfrac{\sigma^2}{\epsilon^2},P(|X-\mu|<\epsilon)>1-\dfrac{\sigma^2}{\epsilon^2}$

¶5.2 大数定律

1. $Bernoulli大数定律：\lim\limits_{n\to+\infty}P(|\dfrac{n_A}n-p|\geq\epsilon)=0,\lim\limits_{n\to+\infty}P(|\dfrac{n_A}n-p|<\epsilon)=1$
2. $Chebyshev大数定律：\lim\limits_{n\to+\infty}P(|\dfrac1n\sum\limits_{k=1}^n X_k-\dfrac1n\sum\limits_{k=1}^n\mu_k|<\epsilon)=1$
3. $Khintchine大数定律：\lim\limits_{n\to\infty}P(|\dfrac1n\sum\limits_{k=1}^nX_k-\mu|\geq\epsilon)=0,\lim\limits_{n\to\infty}P(|\dfrac1n\sum\limits_{k=1}^nX_k-\mu|<\epsilon)=1$

¶5.3 中心极限定理

1. $独立同分布的中心极限定理：设X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots为独立同分布的随机变量序列，\forall x,\lim\limits_{n\to\infty}P(\dfrac{\sum\limits_{k=1}^nX_k-n\mu}{\sqrt n\sigma}\leq x)=\Phi(x)$
2. $De moivre-Laplace中心极限定理：设随机变量Y_n\sim B(n,p),n\to\infty, Y_n\sim N(np, np(1-p))$

¶第六章 数理统计的预备知识

¶6.1 数理统计的基本概念

1. $\bar X=\dfrac1n \sum\limits_{i=1}^n X_i$
2. $S^2=\dfrac1{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2$
3. $M_k=\dfrac1n\sum\limits_{i=1}^n X_i^k(k=1,2,\cdots)$
4. $(CM)k=\dfrac 1n\sum\limits{i=1}^n(X_i-\bar X)^k(k=1,2,\cdots)$

¶6.2 几个常用统计量的分布

1. $正态分布 X\sim N(\mu,\sigma^2)$

2. $\chi^2分布：$

   $\chi^2=\sum\limits_{i=1}^n X_i^2\sim\chi^2(n)$

   $E(\chi^2)=n,D(\chi^2)=2n$

   $若两者独立，则X_1+X_2\sim \chi^2(n_1+n_2)$

   $n很大时,近似符合正态分布N(n,2n)$

3. $t分布：$

   $X\sim N(0,1),Y\sim \chi^2(n),T=\dfrac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$

   $n充分大(>45)时，近似服从标准正态分布$

   $t_{1-\alpha}(n)=-t_\alpha(n)$

4. $F分布：$

   $U\sim\chi^2(m),V\sim\chi^2(n)，且U,V独立，F=\dfrac{U/m}{V/n}～F(m,n)$

   $F\sim F(m,n)\Rightarrow \dfrac1F\sim F(n,m)$

   $F_{1-\alpha}(m,n)=\dfrac1{F_\alpha(n,m)}$

¶6.3 正态分布的抽样分布

1. 单个正态总体的抽样分布
   1. $\bar X\sim N(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n})$
   2. $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\sum\limits_{i=1}^n{\dfrac{X_i-\bar X}{\sigma}}\sim\chi^2(n-1)$
   3. $\bar X与\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}独立$
   4. $\cfrac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)$
2. 两个正态总体的抽样分布
   1. $\dfrac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n-1,m-1)$
   2. $\sigma_1=\sigma_2=\sigma时,\dfrac{(\bar X-\bar Y)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\dfrac1n+\dfrac1m}\sqrt{\dfrac{(n-1)S_1^2+(m-1)S_2^2}{n+m-2}}}$

¶第七章 参数估计

¶7.1 点估计

1. 频率替代法
2. 矩估计法
3. 最大似然估计法

¶7.2 估计量的评价标准

1. 无偏性——估计值的期望是实际值
2. 有效性
   1. 有效性的比较看方差大小，方差小的更有效
   2. $若D(\hat\theta)<D(\theta)且无偏,则有效$
3. 一致性
   1. $\lim\limits_{n\to+\infty} D(\hat\theta_n)=0$

¶7.3 区间估计

1. 要选定枢轴量

¶第八章 假设检验

确定检验统计量、拒绝域

¶8.1 单个正态总体均值的假设检验

1. 方差已知

   $U=\dfrac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)$

2. 方差未知

   $T=\dfrac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$

¶8.2 单个正态总体方差的假设检验

1. 均值已知

   $\chi^2=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n)$

2. 均值未知

   $\chi^2=\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1)$

¶8.3 两个正态总体参数均值差的假设检验

1. 方差$\sigma_1^2,\sigma_2^2已知$

   $\bar X-\bar Y\sim N(\delta,\dfrac{\sigma_1^2}n+\dfrac{\sigma_2^2}m)$

2. 方差$\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$未知

   $T=\dfrac{\bar X-\bar Y-\delta}{S_W\sqrt{\dfrac1n+\dfrac1m}}\sim t(n+m-2)$

3. 方差$\sigma_1^2,\sigma_2^2$未知，但样本容量相等

   $\dfrac{\bar Z-\delta}{S_Z/\sqrt n}\sim t(n-1)$

¶iostream

1. 控制精度

   1	cout << setprecision(3) << 3.1415926

2. 小数模式：fixed

3. 科学技术法：scientific

¶fstream

1. 逐行读取文件内容

   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

   #include <iostream> #include <fstream> #include <string> int main() { std::ifstream file("example.txt"); // 打开文件 if (!file) { // 检查文件是否成功打开 std::cerr << "Unable to open the file!" << std::endl; return 1; } std::string line; // 逐行读取文件内容 while (std::getline(file, line)) { std::cout << line << std::endl; // 输出每一行 } file.close(); // 关闭文件 return 0; }

2. 写入文件

   1 2	std::ofstream file("output.txt"); file << "Hello, World!" << std::endl;